第十屆華杯賽總決賽試題及解答

2021-06-29 試題

　　一、填空(共3題，每題10分)

　　1.1000米賽跑，已知甲到達終點時，乙離終點50米;乙到達終點時，丙離終點100米。那么甲到達終點時，丙離終點___米。

　　2.三個相鄰奇數的積為一個五位數2***3，這三個奇數中最小的是___。

　　3.將兩個不同的自然數中較大的數換成這兩個數的差，稱為一次操作，如對18和42可連續進行這樣的操作。則有：18，42→18，24→18，6→12，6→6，6，直到兩數相同為止。試給出和最小的兩個五位數，按照以上操作，最后得到的相同的數是15，這兩個五位數是___與___。

　　二、解答題(共3題，每題10分，寫出簡要解答過程)

　　4.右圖中，ABCD是邊長為1的正方形，A，E，F，G，H分別是四條邊AB，BC，CD，DA的中點，計算圖中紅色八邊形的面積。

　　5.若干名小朋友購買單價為3元和5元的兩種商品，每人至少買一件，但每人購買的商品的.總金額不得超過15元。小民說：小朋友中一定至少有三人購買的兩種商品的數量完全相同。問：至少有多少名小朋友?

　　6.A是山腳，B是山頂，C是山坡上的一點，。甲、乙同時從山腳出發，到達山頂，再返回山腳，如此往返運動。甲、乙速度之比為6∶5，并且甲乙下山的速度都是各自上山速度的1.5倍.出發一段時間后，甲第一次在山頂上看見乙在AC段向上爬;又經過一段時間后，甲第二次在山頂上看見乙在AC段向上爬。問：當甲第二次在山頂上看到乙在AC段上爬時(包括此時)，甲到過山頂幾次?

　　參考答案

　　一、填空

　　1.145 2.27 3.10005與10020

　　二、解答題

　　4.紅色八邊形的面積是1/6

　　5.至少有25名小朋友6.甲到過山頂9次

　　1.【解】甲跑1000米，乙跑了950米，乙跑1000米，丙跑900米，

　　所以甲跑1000米時，丙跑了950×900/1000=855(米)，丙距終點1000-855=145(米).

　　2.【解】設中間數為n則(n-2)×n×(n+2)=2***3，又知(n-2)×(n+2)<，而=19683，所以，n應大于27，而7×9×1=63，故最小數應為27，27×29×31=24273，符合題意，并且是唯一解.

　　3.【解】能被15整除的最小5位數是10005，10005+15=10020，按照題目所給的操作，只需將這兩個五位數取為10005和10020，則經過1次操作，較小的數變為15，較大的數變為10005，再經若干此次操作，較小的數一直不變，較大的數每次減少15，直到較大的數變為30，再經一次操作兩個數都變成了15.

　　4.【解】如圖，易知藍邊正方形面積為，△ABD面積為，△BCD面積為，

　　所以△ABC面積為-=，可證AE∶EB=1∶4，

　　黃色三角形面積為△ABC的，等于，由此可得，所求八邊形的面積是：1/6.

　　至此，我們對各部分的面積都已計算出來，如下圖所示.

　　【又解】設O為正方形中心(對角線交點)，連接OE、OF，分別與AF、BG交于M、N，設AF與EC的交點為P，連接OP，△MOF的面積為正方形面積的，N為OF中點，△OPN面積等于△FPN面積，又△OPN面積與△OPM面積相等，所以△OPN面積為△MOF面積的，為正方形面積的，八邊形面積等于△OPM面積的8倍，為正方形面積的1/6.

　　5.【解】不超過15元可購買商品的方法有：

　　共12種方法，所以如果有25人，必然會有3人購買的商品完全相同.

　　答：至少有25名小朋友.

　　6.【解】不妨設想為在一條直線上的運動，將上山的路程看作下山路程的1.5倍，并設AC=1，則CB=2，下山路程=2，將上山、下山一個全程看作5，重復在一條直線上進行.如下圖：

　　B點表示山頂，甲到達山頂所走的路程可以表示為：5×n-2(其中n為整數，表示到達山頂的次數)，此時乙所走的路程為(5×n-2)×，乙處于的位置為(5×n-2)×÷5=(5×n-2)÷6的余數，設此余數為k，當0

　　n123456789

　　k321054321

　　即當甲第二次在山頂上看到乙在AC段上爬時(包括此時)，甲到過山頂9次.