深入分析換元法的目的和意義,從而得出各種換元技巧的本質規律,以便在數學解題中能夠有效地選擇換元方式. 關鍵詞:換元法,轉化 從一種形態轉化到另一種形態,這是數學發展的一個杠桿,也是解題常用的手段. 數學史中這樣的例子很多,無論是對一些具體問題的解決,還是在經典的數學方法中,都無不滲透著
這一思想. 解題中常用到的換元法,其實也是這一思想的具體體現.
當然,為了使問題得到解決,轉化應該是有效的. 什么是有效的轉化?總的.說來,有利于問題解決的轉化就是有效轉化. 在具體問題中,針對轉化的有效性,人們作了很多的探討. 以換元法為例,就有很多文章探討了解方程中的換元技巧,積分中的換元技巧,等等. 每一類問題又由于其具體形式的不同,換元的形式也多種多樣. 分析各種換元形式的共同規律,可以將其歸結為以下兩種模式.
一、通過換元使形式凝練、簡化
化繁為簡是處理問題的一種常用方法,也是數學解題的一種重要手段,恰當的換元往往可以起到這一作用.
例1 解方程.
分析 這是一個含根式的二次方程,形式較復雜,但注意到方程左端可以化成關于的表達式,令,原方程可簡化為一元二次方程,問題得以解決.
解 原方程可改寫為
.(1)
令,則方程(1)可化為
,(2)
解此方程,得(舍去),.
由,得
,(3)
解方程(3),得原方程的根
,.
二、通過換元改造難于處理的形式
表達式中出現難于處理的形式,如根式、超越函數等,通過適當的換元來改造形式,使問題得以解決.
例2 求不定積分.
分析 被積函數的分子、分母中分別出現了二次根式和三次根式,沒有直接的積分公式可以套用,設法將根式去掉. 令,可以將無理函數轉化為有理函數.
解 設,即,. 于是
在具體問題中,換元的形式多種多樣,但究其本質,多是從以上兩個角度選擇換元方式. 弄清這一基本規律,我們就沒有必要去記憶各種換元技巧,具體問題具體分析,有針對性地恰當選擇換元.
[參考文獻]
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