教學分析
課本從學生熟悉的集合出發,結合實例,通過類比實數加法運算引入集合間的運算,同時,結合相關內容介紹子集和全集等概念.在安排這部分內容時,課本繼續注重體現邏輯思考的方法,如類比等.
值得注意的問題:在全集和補集的教學中,應注意利用圖形的直觀作用,幫助學生理解補集的概念,并能夠用直觀圖進行求補集的運算.
三維目標
1.理解兩個集合的并集與交集、全集的含義,掌握求兩個簡單集合的交集與并集的方法,會求給定子集的補集,感受集合作為一種語言,在表示數學內容時的簡潔和準確,進一步提高類比的能力.
2.通過觀察和類比,借助Venn圖理解集合的基本運算.體會直觀圖示對理解抽象概念的作用,培養數形結合的思想.
重點難點
教學重點:交集與并集,全集與補集的概念.
教學難點:理解交集與并集的概念,以及符號之間的區別與聯系.
教學過程
第1課時
導入新課
思路1.我們知道,實數有加法運算,兩個實數可以相加,例如5+3=8.類比實數的加法運算,集合是否也可以“相加”呢?
教師直接點出課題.
思路2.請同學們考察下列各個集合,你能說出集合C與集合A、B之間的關系嗎?
(1)A={1,3,5},B={2,4,6},C={1,2,3,4,5,6};
(2)A={x|x是有理數},B={x|x是無理數},C={x|x是實數}.
引導學生通過觀察、類比、思考和交流,得出結論.教師強調集合也有運算,這就是我們本節課所要學習的內容.
思路3.(1)①如圖1131甲和乙所示,觀察兩個圖的陰影部分,它們分別同集合A、集合B有什么關系?
圖1-1-3-1
②觀察集合A與B與集合C={1,2,3,4}之間的關系.
學生思考交流并回答,教師直接指出這就是本節課學習的課題:集合的運算.
(2)①已知集合A={1,2,3},B={2,3,4},寫出由集合A,B中的所有元素組成的集合C.
②已知集合A={x|x>1},B={x|x<0},在數軸上表示出集合A與B,并寫出由集合A與B中的所有元素組成的集合C.
推進新課
新知探究
提出問題
①通過上述問題中集合A與B與集合C之間的關系,類比實數的加法運算,你發現了什么?
②用文字語言來敘述上述問題中,集合A與B與集合C之間的關系.
③用數學符號來敘述上述問題中,集合A與B與集合C之間的關系.
④試用Venn圖表示A∪B=C.
⑤請給出集合的并集定義.
⑥求集合的.并集是集合間的一種運算,那么,集合間還有其他運算嗎?
請同學們考察下面的問題,集合A與B與集合C之間有什么關系?
(ⅰ)A={2,4,6,8,10},B={3,5,8,12},C={8};
(ⅱ)A={x|x是國興中學2007年9月入學的高一年級女同學},B={x|x是國興中學2007年9月入學的高一年級男同學},C={x|x是國興中學2007年9月入學的高一年級同學}.
⑦類比集合的并集,請給出集合的交集定義?并分別用三種不同的語言形式來表達.
活動：先讓學生思考或討論問題,然后再回答,經教師提示、點撥,并對回答正確的學生及時表揚,對回答不準確的學生提示引導考慮問題的思路,主要引導學生發現集合的并集和交集運算并能用數學符號來刻畫,用Venn圖來顯示.
討論結果：
①集合之間也可以相加,也可以進行運算,但是為了不和實數的運算相混淆,規定這種運算不叫集合的加法,而是叫做求集合的并集.集合C叫集合A與B的并集.記為A∪B=C,讀作A并B.
②所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成了集合C.
③C={x|x∈A,或x∈B}.
④如圖1131所示.
⑤一般地,由所有屬于集合A或屬于集合B的元素所組成的集合,稱為集合A與B的并集.其含義用符號表示為A∪B={x|x∈A,或x∈B},用Venn圖表示,如圖1131所示.
⑥集合之間還可以求它們的公共元素組成集合的運算,這種運算叫求集合的交集,記作A∩B,讀作A交B.(ⅰ)A∩B=C,(ⅱ)A∪B=C.
⑦一般地,由屬于集合A且屬于集合B的所有元素組成的集合,稱為A與B的交集.
其含義用符號表示為:
A∩B={x|x∈A,且x∈B}.
用Venn圖表示,如圖1132所示.
圖1-1-3-2
應用示例
思路1
1.設A={4,5,6,8},B={3,5,7,8},求A∪B,A∩B.
圖1-1-3-3
活動：讓學生回顧集合的表示法和交集、并集的含義,由于本例題難度較小,讓學生自己解決,重點是總結集合運算的方法.根據集合并集、交集的含義,借助于Venn圖寫出.觀察這兩個集合中的元素,或用Venn圖來表示,如圖1133所示.
解：A∪B={4,5,6,8}∪{3,5,7,8}={3,4,5,6,7,8}.A∩B={4,5,6,8}∩{3,5,7,8}={5,8}.
本題易錯解為A∪B={3,4,5,5,6,7,8,8}.其原因是忽視了集合元素的互異性.解決集合問題要遵守集合元素的三條性質.
變式訓練
1.集合M={1,2,3},N={-1,5,6,7},則M∪N=________.M∩N=________.
答案：{-1,1,2,3,5,6,7}
2.集合P={1,2,3,m},M={m2,3},P∪M={1,2,3,m},則m=_________.
分析:由題意得m2=1或2或m,解得m=-1,1, , ,0.因m=1不合題意,故舍去.
答案：-1, , ,0
3.2007河南實驗中學月考,理1滿足A∪B={0,2}的集合A與B的組數為 ( )
A.2 B.5 C.7 D.9
分析:∵A∪B={0,2},∴A {0,2}.則A= 或A={0}或A={2}或A={0,2}.當A= 時,B={0,2};當A={0}時,則集合B={2}或{0,2};當A={2}時,則集合B={0}或{0,2};當A={0,2}時,則集合B= 或{0}或{2}或{0,2},則滿足條件的集合A與B的組數為1+2+2+4=9.
答案：D
4.2006遼寧高考,理2設集合A={1,2},則滿足A∪B={1,2,3}的集合B的個數是 ( )
A.1 B.3 C.4 D.8
分析:轉化為求集合A子集的個數.很明顯3 A,又A∪B={1,2,3},必有3∈B,即集合B中至少有一個元素3,其他元素來自集合A中,則集合B的個數等于A={1,2}的子集個數,又集合A中含有22=4個元素,則集合A有22=4個子集,所以滿足條件的集合B共有4個.
答案：C
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