復(fù)數(shù)復(fù)習教案
1.理解復(fù)數(shù)的基本概念、復(fù)數(shù)相等的充要條件.
2.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示法及其幾何意義.
3.會進行復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.了解復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運算及其運算的幾何意義.
4.了解從自然數(shù)系到復(fù)數(shù)系的關(guān)系及擴充的基本思想，體會理性思維在數(shù)系擴充中的作用. 本章重點：1.復(fù)數(shù)的有關(guān)概念;2.復(fù)數(shù)代數(shù)形式的四則運算.
本章難點：運用復(fù)數(shù)的有關(guān)概念解題. 近幾年高考對復(fù)數(shù)的考查無論是試題的難度，還是試題在試卷中所占 比例都是呈下降趨勢，常以選擇題、填空題形式出現(xiàn)，多為容易題.在復(fù)習過程中，應(yīng)將復(fù)數(shù)的概念及運算放在首位.
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15.1 復(fù)數(shù)的概念及其運算
典例精析
題型一 復(fù)數(shù)的概念
【例1】 (1)如果復(fù)數(shù)(m2+i)(1+mi)是實數(shù)，則實數(shù)m= ;
(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1+ii對應(yīng)的點位于第 象限;
(3)復(fù)數(shù)z=3i+1的共軛復(fù)數(shù)為z= .
【解 析】 (1)(m2+i)(1+mi)=m2-m+(1+m3)i是實數(shù)1+m3=0m=-1.
(2)因為1+ii=i(1+i)i2=1-i，所以在復(fù)平面內(nèi)對 應(yīng)的點為(1，-1)，位于第四象限.
(3)因為z=1+3i，所以z=1-3i.
【點撥】 運算此類 題目需注意復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z=a+bi(a，bR)，并注意復(fù)數(shù)分為實數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)，復(fù)數(shù)的幾何意義，共軛復(fù)數(shù)等概念.
【變式訓練1】(1)如果z=1-ai1+ai為純虛數(shù)，則實數(shù)a等于()
A.0 B.-1 C.1 D.-1或1
(2)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z=1-ii(i是虛數(shù)單位)對應(yīng)的點位于()
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
【解析】(1)設(shè)z=xi，x0，則
xi=1-ai1+ai1+ax-(a+x)i=0 或 故選D.
(2)z=1-ii=(1-i)(-i)=-1-i，該復(fù)數(shù)對應(yīng)的點位于第三象限.故選C.
題型二 復(fù)數(shù)的相等
【例2】(1)已知復(fù)數(shù)z0=3+2i，復(fù)數(shù)z滿足zz0=3z+z0，則復(fù)數(shù)z= ;
(2)已知m1+i=1-ni， 其中m，n是實數(shù)，i是虛數(shù)單位，則m+ni= ;
(3)已知關(guān)于x的方程x2+(k+2i)x+2+ki=0有實根，則這個實根為 ，實數(shù)k的值為.
【解析】(1)設(shè)z=x+yi(x，yR)，又z0=3+2i，
代入zz0=3z+z0得(x+yi)(3+2i)=3(x+yi)+3+2i，
整理得 (2y+3)+(2-2x)i=0，
則由復(fù)數(shù)相等的條件得
解得 所以z=1- .
(2)由已知得m=(1-ni)(1+i)=(1+n)+(1-n)i.
則由復(fù)數(shù)相等的條件得
所以m+ni=2+i.
(3)設(shè)x=x0是方程的實根， 代入方程并整理得
由復(fù)數(shù)相等的充要條件得
解得 或
所以方程的實根為x=2或x= -2，
相應(yīng)的k值為k=-22或k=22.
【點撥】復(fù)數(shù)相等須先化為z=a+bi(a，bR)的形式，再由相等 得實部與實部相等、虛部與虛部相等.
【變式訓練2】(1)設(shè)i是虛數(shù)單位，若1+2i1+i=a+bi(a，bR)，則a+b的值是()
A.-12 B.-2 C.2 D.12
(2)若(a-2i)i=b+i，其中a，bR，i為虛數(shù)單位，則a+b=.
【解析】(1)C.1+2i1+i=(1+2i)(1-i)(1+i)(1-i)= 3+i2，于是a+b=32+12=2.
(2)3.2+ai=b+ia=1，b= 2.
題 型三 復(fù)數(shù)的運算
【例3】 (1)若復(fù)數(shù)z=-12+32i， 則1+z+z2+z3++z2 008= ;
(2)設(shè)復(fù)數(shù)z滿足z+|z|=2+i，那么z= .
【解析】 (1)由已知得z2=-12-32i，z3=1，z4=-12+32i =z.
所以zn具有周期性，在一個周期內(nèi)的和為0，且周期為3.
所以1+z+z2+z3++z2 008
=1+z+(z2+z3+z4)++(z2 006+z2 007+z2 008)
=1+z=12+32i.
(2)設(shè)z=x+yi(x，yR)，則x+yi+x2+y2=2+i，
所以 解得 所以z= +i.
【點撥】 解(1)時要注意x3=1(x-1)(x2+x+1)=0的三個根為1，，-，
其中=-12+32i，-=-12-32i， 則
1++2=0， 1+-+-2=0 ，3=1，-3=1，-=1，2=-，-2=.
解(2)時要注意|z|R，所以須令z=x +yi.
【變式訓練3】(1)復(fù)數(shù)11+i+i2等于()
A.1+i2 B.1-i2 C.-12 D.12
(2)(2010江西鷹潭)已知復(fù)數(shù)z=23-i1+23i+(21-i)2 010，則復(fù)數(shù)z等于()
A.0 B.2 C.-2i D.2i
【解析】(1 )D.計算容易有11+i+i2=12.
(2)A.
總結(jié)提高
復(fù)數(shù)的代數(shù)運算是重點，是每年必考內(nèi)容之一，復(fù)數(shù)代數(shù)形式的運算：①加減法按合并同類項法則進行;②乘法展開、除法須分母實數(shù)化.因此，一些復(fù)數(shù)問題只需設(shè)z=a+bi(a，bR)代入原式后，就 可以將復(fù)數(shù)問題化歸為實數(shù)問題來解決.
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