數(shù)列專題及知識點(diǎn)總結(jié)

2021-07-11 總結(jié)

　　數(shù)列專題及知識點(diǎn)都有一些什么基本公式，對于學(xué)習(xí)數(shù)列專題要撐握什么呢，以下大家先學(xué)習(xí)一下先吧。

　　數(shù)列專題及知識點(diǎn)總結(jié)

　　一、高考數(shù)列基本公式：

　　1、一般數(shù)列的通項(xiàng)an與前n項(xiàng)和Sn的關(guān)系：an=

　　2、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式：an=a1+(n-1)d an=ak+(n-k)d (其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)) 當(dāng)d≠0時(shí)，an是關(guān)于n的一次式；當(dāng)d=0時(shí)，an是一個(gè)常數(shù)。

　　3、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：

　　當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次式且常數(shù)項(xiàng)為0；當(dāng)d=0時(shí)（a1≠0），Sn=na1是關(guān)于n的正比例式。

　　4、等比數(shù)列的通項(xiàng)公式： an= a1qn-1an= akqn-k

　　(其中a1為首項(xiàng)、ak為已知的第k項(xiàng)，an≠0)

　　5、等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式：當(dāng)q=1時(shí)，Sn=n a1 (是關(guān)于n的正比例式)；

　　當(dāng)q≠1時(shí)，

　　二、高考數(shù)學(xué)中有關(guān)等差、等比數(shù)列的結(jié)論

　　1、等差數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等差數(shù)列。

　　4、等比數(shù)列{an}的任意連續(xù)m項(xiàng)的和構(gòu)成的數(shù)列Sm、S2m-Sm、S3m-S2m、S4m- S3m、……仍為等比數(shù)列。

　　5、兩個(gè)等差數(shù)列{an}與{bn}的和差的數(shù)列{an+bn}、{an-bn}仍為等差數(shù)列。

　　6、兩個(gè)等比數(shù)列{an}與{bn}的積、商、倒數(shù)組成的數(shù)列

　　7、等差數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等差數(shù)列。

　　8、等比數(shù)列{an}的任意等距離的項(xiàng)構(gòu)成的數(shù)列仍為等比數(shù)列。

　　9、三個(gè)數(shù)成等差數(shù)列的設(shè)法：a-d,a,a+d；四個(gè)數(shù)成等差的設(shè)法：a-3d,a-d,,a+d,a+3d

　　10、三個(gè)數(shù)成等比數(shù)列的設(shè)法：a/q,a,aq；

　　三個(gè)數(shù)成等比的錯(cuò)誤設(shè)法：a/q3,a/q,aq,aq3 (為什么？)

　　12、{bn}（bn>0）是等比數(shù)列，則{logcbn} (c>0且c≠1) 是等差數(shù)列。

　　高中數(shù)學(xué)數(shù)列知識點(diǎn)總結(jié)四:求數(shù)列通項(xiàng)公式常用以下幾種方法：

　　一、題目已知或通過簡單推理判斷出是等比數(shù)列或等差數(shù)列，直接用其通項(xiàng)公式。

　　例：在數(shù)列{an}中，若a1=1，an+1=an+2(n1)，求該數(shù)列的通項(xiàng)公式an。

　　解：由an+1=an+2(n1)及已知可推出數(shù)列{an}為a1=1，d=2的等差數(shù)列。所以an=2n-1。此類題主要是用等比、等差數(shù)列的定義判斷，是較簡單的基礎(chǔ)小題。

　　二、已知數(shù)列的前n項(xiàng)和，用公式

　　S1 (n=1)

　　Sn-Sn-1 (n2)

　　例：已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn=n2-9n，第k項(xiàng)滿足5

　　(A) 9 (B) 8 (C) 7 (D) 6

　　解：∵an=Sn-Sn-1=2n-10，∴5<2k-10<8 ∴k=8 選 (B)

　　此類題在解時(shí)要注意考慮n=1的情況。

　　三、已知an與Sn的關(guān)系時(shí)，通常用轉(zhuǎn)化的方法，先求出Sn與n的關(guān)系，再由上面的(二)方法求通項(xiàng)公式。

　　例：已知數(shù)列{an}的'前n項(xiàng)和Sn滿足an=SnSn-1(n2)，且a1=-，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式。

　　解：∵an=SnSn-1(n2)，而an=Sn-Sn-1，SnSn-1=Sn-Sn-1，兩邊同除以SnSn-1，得---=-1(n2)，而-=-=-，∴{-} 是以-為首項(xiàng)，-1為公差的等差數(shù)列，∴-= -，Sn= -，

　　再用(二)的方法：當(dāng)n2時(shí)，an=Sn-Sn-1=-，當(dāng)n=1時(shí)不適合此式，所以，

　　- (n=1)

　　- (n2)

　　四、用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式

　　對于題中給出an與an+1、an-1的遞推式子，常用累加、累積的方法求通項(xiàng)公式。

　　例：設(shè)數(shù)列{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，且滿足(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式

　　解：∵(n+1)an+12-nan2+an+1an=0，可分解為[(n+1)an+1-nan](an+1+an)=0

　　又∵{an}是首項(xiàng)為1的正項(xiàng)數(shù)列，∴an+1+an ≠0，∴-=-，由此得出：-=-，-=-，-=-，…，-=-,這n-1個(gè)式子，將其相乘得：∴ -=-，

　　又∵a1=1，∴an=-(n2)，∵n=1也成立，∴an=-(n∈N*)

　　五、用構(gòu)造數(shù)列方法求通項(xiàng)公式

　　題目中若給出的是遞推關(guān)系式，而用累加、累積、迭代等又不易求通項(xiàng)公式時(shí)，可以考慮通過變形，構(gòu)造出含有 an(或Sn)的式子，使其成為等比或等差數(shù)列，從而求出an(或Sn)與n的關(guān)系，這是近一、二年來的高考熱點(diǎn)，因此既是重點(diǎn)也是難點(diǎn)。

　　例：已知數(shù)列{an}中，a1＝2，an+1=(--1)(an+2)，n=1,2,3,……

　　(1)求{an}通項(xiàng)公式 (2)略

　　解：由an+1=(--1)(an+2)得到an+1--＝ (--1)(an--)

　　∴{an--}是首項(xiàng)為a1--，公比為--1的等比數(shù)列。

　　由a1＝2得an--=(--1)n-1(2--) ，于是an=(--1)n-1(2--)+-

　　又例：在數(shù)列{an}中，a1=2，an+1=4an-3n+1(n∈N*)，證明數(shù)列{an-n}是等比數(shù)列。

　　證明：本題即證an+1-(n+1)=q(an-n) (q為非0常數(shù))

　　由an+1=4an-3n+1，可變形為an+1-(n+1)=4(an-n)，又∵a1-1=1，

　　所以數(shù)列{an-n}是首項(xiàng)為1，公比為4的等比數(shù)列。

　　若將此問改為求an的通項(xiàng)公式，則仍可以通過求出{an-n}的通項(xiàng)公式，再轉(zhuǎn)化到an的通項(xiàng)公式上來。

　　又例：設(shè)數(shù)列{an}的首項(xiàng)a1∈(0,1)，an=-，n=2，3，4……(1)求{an}通項(xiàng)公式。(2)略

　　解：由an=-，n=2,3,4,……，整理為1-an=--(1-an-1)，又1-a1≠0，所以{1-an}是首項(xiàng)為1-a1，公比為--的等比數(shù)列，得an=1-(1-a1)(--)n-1