有物不知數-文言文中的數學

2021-06-11 文言文

　　（依據：《孫子問題》；編詩：陳鋼）有物不知數，讓我數一數；

　　三個三個數，剩二好孤獨；

　　五五數剩三，七七又二單；

　　此物多少數，誰能說清楚？

　　【解說】這是依據《孫子算經》上有名的“孫子問題”（又稱“物不知數題”）編寫而成的。原來的題目是：

　　“今有物不知其數，三三數之剩二，五五數之剩三，七七數之剩二。問物幾何？”

　　用通俗的話來說，題目的意思就是

　　有一些物品，不知道有多少個，只知道將它們三個三個地數，會剩下2個；五個五個地數，會剩下3個；七個七個地數，也會剩下2個。這些物品的數量至少是多少個？

　　（注：詩題及題目原文都無“至少”二字，但“孫子問題”都是些求“最少”或者求“至少”的問題，否則就會有無數多個答案。所以，解釋題目意思時，在語句中加上了“至少”二字。）

　　《孫子算經》解這道題目的“術文”和答案是：

　　“三三數之剩二，置一百四十；五五數之剩三，置六十三；七七數之剩二，置三十。并之，得二百三十三，以二百十減之，即得。”“答曰：二十三。”

　　這些話是什么意思呢？用通俗的話來說，就是：

　　先求被3除余2，并能同時被5、7整除的數，這樣的數最小是140；

　　再求被5除余3，并能同時被3、7整除的數，這樣的數最小是63；

　　然后求被7除余2，并能同時被3、5整除的數，這樣的數最小是30。

　　于是，由140＋63＋30=233，得到的233就是一個所要求得的數。但這個數并不是最小的。

　　再用求得的“233”減去或者加上3、5、7的最小公倍數“105”的倍數，就得到許許多多這樣的數：

　　｛23，128，233，338，443，…｝

　　從而可知，23、128、233、338、443、…都是這一道題目的解，而其中最小的解是23。

　　答：這些物品的數目至少是23個。

　　需要指出的是，在《孫子算經》上，有一段關于這類題目的解題“術文”：

　　“凡三三數之剩一則置七十，五五數之剩一則置二十一，七七數之剩一則置十五，一百六以上以一百五減之，即得。”

　　（注：古稱“106”和“105”為“一百六”和“一百五”，而稱“160”和“150”為“一百六十”和“一百五十”。所以，這里的“一百六”和“一百五”分別指“106”和“105”，而不是“160”和“150”。）

　　明代著名的大數學家程大位，在他所著的《算法統宗》中，對于這種解一般“孫子問題”的方法，還編出了四句歌訣，名曰《孫子歌》：

　　三人同行七十稀，

　　五樹梅花廿一枝；

　　七子團圓正半月，

　　除百零五便得知。

　　歌中的“廿”，讀音與“念”音相同。“廿”即二十的意思。

　　這一歌訣的“詩意”，我們可以不去理會，只需注意它的數字就行了。歌訣中的每一句話，都指出了一步解題方法：

　　“三（3）人同行七十（70）稀”——是說除以3所得的余數，要用“70”去乘它；

　　“五（5）樹梅花廿一（21）枝”——是說除以5所得的余數，要用“21”去乘它；

　　“七（7）子團圓正半月（15）”——“半月”是一個月30天的一半，即15日，這是說，除以 7所得的余數，要用“ 15”去乘它；

　　“除百零五（105）便得知”——這是說要把上面所乘得的三個數相加，加得的和如果大于105，便應減去105，或者減去105的倍數。這也就是《孫子算經》上的“一百六（106）以上，以一百五（105）減之”。這樣得出的差，便是所要求的這個最小的未知數了。

　　運用這一歌訣來解答這道“物不知數”問題，便是

　　2×70+3×21+2×15=140+63+30=233

　　233-105-105=23（答略）

　　不過，用這種方法解這類問題，有它的局限性，它只能解答用3、5、7作除數的題目，遇到用其他數作除數的算題，它就行不通了。這一點必須引起我們的注意。

　　這種“物不知數（孫子）問題”，在我國古代流傳的算法名稱很多。宋朝周宓稱它為“鬼谷算”、“隔墻算”（之所以稱“鬼谷算”，大概是因為它與傳說中的哲學家鬼谷子有某些關系）；13世紀的大數學家楊輝則稱它為“剪管術”。南宋數學家秦九韶將它推廣，并又發現一種算法，稱它為“大衍求一術”。它被傳入西方后，外國人又稱它為“中國剩余定理”。但是大多數人較為通俗的叫法，還是稱它為“韓信點兵”（也有稱“秦王暗點兵”的`）。傳說我國漢朝的大將韓信，計算士兵數目的方法十分特別，他不是五個五個或十個十個地數，也不要士兵“一、二、三、四、五……”地報數，而是叫他們排起隊伍，依次在他面前列隊行進：先是一排三人，再是一排五人，然后是一排七人。他只將三次所余的士兵記下來，就知道了士兵的總數。他旁邊的人見他并沒有數士兵的數目，有時甚至還閉上了眼睛，而居然知道士兵的總數，都感到十分驚奇。所以，后人就把這種算法稱為“韓信點兵”了。“韓信點兵問題”在數學史上，是個極有名的問題。西洋人直到18世紀才被瑞士數學家歐拉發現這一問題的解題規律。只拿我國南宋秦九韶的研究與他們相比，他們也晚了五百年左右的時間。

　　【思考、練習】

　　1．有一道用詩的形式表達的謎題是：

　　花生若干粒，三數即余一；

　　五數無剩余，七數余三粒。

　　你能猜出得數是多少粒嗎？（答案：10粒）

　　2．有一道民間詩題如下：

　　秦皇暗點衛隊兵，三三數來余二名；

　　五數七數都余一，衛隊共是多少人？

　　請仿照上面的方法解出這道題目。（答案：71人）

　　3．有總數不滿五十人的一隊士兵，“一至三報數”，最后一人報“一”；“一至五報數”，最后一人報“二”；“一至七報數”，最后一人也報“二”。這隊士兵有多少人？（答案：37人）

　　4．用三輪小貨車運一批糧食，每次運7袋，最后余下2

　　袋；每次運8袋，最后余下3袋；每次運9袋，最后余下1袋。這批糧食至少有多少袋？（答案：163袋）