18.2.1 矩形(一)
一、教學目標：
1．掌握矩形的概念和性質(zhì)，理解矩形與平行四邊形的區(qū)別與聯(lián)系．
2．會初步運用矩形的概念和性質(zhì)來解決有關(guān)問題．
3．滲透運動聯(lián)系、從量變到質(zhì)變的觀點．
二、重點、難點
1．重點：矩形的性質(zhì)．
2．難點：矩形的性質(zhì)的靈活應(yīng)用．
三、例題的意圖分析
例1是教材P104的例1，它是矩形性質(zhì)的直接運用，它除了用以鞏固所學的矩形性質(zhì)外，對計算題的格式也起了一個示范作用．例2與例3都是補充的題目，其中通過例2的講解是想讓學生了解：（1）因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中常用的方法；（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關(guān)系式．并能通過例2、例3的講解使學生掌握解決有關(guān)矩形方面的一些計算題目與證明題的方法．
四、課堂引入
1．展示生活中一些平行四邊形的實際應(yīng)用圖片（推拉門，活動衣架，籬笆、井架等），想一想：這里面應(yīng)用了平行四邊形的什么性質(zhì)？
2．思考：拿一個活動的平行四邊形教具，輕輕拉動一個點，觀察不管怎么拉，它還是一個平行四邊形嗎？為什么？（動畫演示拉動過程如圖）
3．再次演示平行四邊形的移動過程，當移動到一個角是直角時停止，讓學生觀察這是什么圖形？（小學學過的長方形）引出本課題及矩形定義．
矩形定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形)．
矩形是我們最常見的圖形之一，例如書桌面、教科書的封面等都有矩形形象．
【探究】在一個平行四邊形活動框架上，用兩根橡皮筋分別套在相對的兩個頂點上（作出對角線），拉動一對不相鄰的頂點，改變平行四邊形的`形狀．
① 隨著∠α的變化，兩條對角線的長度分別是怎樣變化的？
② 當∠α是直角時，平行四邊形變成矩形，此時它的其他內(nèi)角是什么樣的角？它的兩條對角線的長度有什么關(guān)系？
操作，思考、交流、歸納后得到矩形的性質(zhì)．
矩形性質(zhì)1 矩形的四個角都是直角．
矩形性質(zhì)2 矩形的對角線相等．
如圖，在矩形ABCD中，AC、BD相交于點O，由性質(zhì)2有AO=BO=CO=DO=AC=BD．因此可以得到直角三角形的一個性質(zhì)：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．
五、例習題分析
例1 （教材P104例1）已知：如圖，矩形ABCD的兩條對角線相交于點O，∠AOB=60°，AB=4c，求矩形對角線的長．
分析：因為矩形是特殊的平行四邊形，所以它具有對角線相等且互相平分的特殊性質(zhì)，根據(jù)矩形的這個特性和已知，可得△OAB是等邊三角形，因此對角線的長度可求．
解：∵ 四邊形ABCD是矩形，
∴ AC與BD相等且互相平分．
∴ OA=OB．
又 ∠AOB=60°，
∴ △OAB是等邊三角形．
∴ 矩形的對角線長AC=BD = 2OA=2×4=8（c）．
例2（補充）已知：如圖 ，矩形 ABCD，AB長8 c ，對角線比AD邊長4 c．求AD的長及點A到BD的距離AE的長．
分析：（1）因為矩形四個角都是直角，因此矩形中的計算經(jīng)常要用到直角三角形的性質(zhì)，而此題利用方程的思想，解決直角三角形中的計算，這是幾何計算題中常用的方法．
略解：設(shè)AD=xc，則對角線長（x+4）c，在Rt△ABD中，由勾股定理：，解得x=6． 則 AD=6c．
（2）“直角三角形斜邊上的高”是一個基本圖形，利用面積公式，可得到兩直角邊、斜邊及斜邊上的高的一個基本關(guān)系式： AE×DB＝ AD×AB，解得 AE＝ 4.8c．
例3（補充） 已知：如圖，矩形ABCD中，E是BC上一點，DF⊥AE于F，若AE=BC． 求證：CE＝EF．
分析：CE、EF分別是BC，AE等線段上的一部分，若AF＝BE，則問題解決，而證明AF＝BE，只要證明△ABE≌△DFA即可，在矩形中容易構(gòu)造全等的直角三角形．
證明：∵ 四邊形ABCD是矩形，
∴ ∠B=90°，且AD∥BC． ∴ ∠1=∠2．
∵ DF⊥AE， ∴ ∠AFD=90°．
∴ ∠B=∠AFD．又 AD=AE，
∴ △ABE≌△DFA（AAS）．
∴ AF=BE．
∴ EF=EC．
此題還可以連接DE，證明△DEF≌△DEC，得到EF＝EC．
六、隨堂練習
1．（填空）
（1）矩形的定義中有兩個條件：一是 ，二是 ．
（2）已知矩形的一條對角線與一邊的夾角為30°，則矩形兩條對角線相交所得的四個角的度數(shù)分別為 、 、 、 ．
（3）已知矩形的一條對角線長為10c，兩條對角線的一個交角為120°，則矩形的邊長分別為 c， c， c， c．
2．（選擇）
（1）下列說法錯誤的是（ ）．
（A）矩形的對角線互相平分 （B）矩形的對角線相等
（C）有一個角是直角的四邊形是矩形 （D）有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形
（2）矩形的對角線把矩形分成的三角形中全等三角形一共有（ ）．
（A）2對 （B）4對 （C）6對 （D）8對
3．已知：如圖，O是矩形ABCD對角線的交點，AE平分∠BAD，∠AOD=120°，求∠AEO的度數(shù)．
七、課后練習
1．（選擇）矩形的兩條對角線的夾角為60°，對角線長為15c，較短邊的長為（ ）．
(A)12c (B)10c (C)7.5c (D)5c
2．在直角三角形ABC中，∠C=90°，AB=2AC，求∠A、∠B的度數(shù)．
3．已知：矩形ABCD中，BC=2AB，E是BC的中點，求證：EA⊥ED．
4．如圖，矩形ABCD中，AB=2BC，且AB=AE，求證：∠CBE的度數(shù)．
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