初中奧數二次函數經典練習題

2021-06-14 試題

　　一、求頂點坐標

　　例1拋物線y=x2-2x+4的頂點坐標是.

　　解析求二次函數的頂點坐標可以直接運用公式x=-，x=，或者用配方法將一般式轉化為頂點式，即y=x2-2x+4=(x-1)2+3，所以頂點坐標是(1，3).

　　二、求交點坐標

　　例2已知直線y=-x與拋物線y=-x2+6交于兩點，求此兩點的坐標.

　　解析求交點坐標實質上就是轉化為求兩個解析式組成的二元方程組的解，此解與交點坐標對應.由題意得y=-xy=-x2+6，解方程組得x1=6y1=-3，x2=-4y2=-2，所以兩交點的坐標為(6，-3)、(-4，2).

　　三、求拋物線的對稱軸

　　例3拋物線y=(x-1)2+3的對稱軸是()

　　(A) 直線x=1 (B) 直線x=3

　　解析本題直接由頂點式觀察可得答案為(A).

　　例4已知二次函數y=ax2+bx+c(a≠0)，其中 a、b、c滿足a+b+c=0和9a-3b+c=0，則該二次函數圖象的對稱軸是直線 .

　　解析二次函數圖象的對稱軸是x=-，但是此題a、b未知.兩個三元方程，考慮用字母c來表示a、b，由題意得a+b+c=0①9a-3b+c=0②，②-①得，8a=4b，b=2a，所以x=-=-1，即二次函數圖象的對稱軸是直線x=-1.

　　四、求函數解析式

　　例5已知：如圖，拋物線y=-x2+bx+c與x軸，y軸分別相交于點A(-1，0)，B(0，3)兩點，其頂點為D.

　　(1) 求該拋物線的解析式;(2)(3)略.

　　解析由與y軸的交點坐標可得c=3，再將A(-1，0)代入解析式可求得b=2，所以拋物線的解析式為y=-x2+2x+3.

　　例6拋物線y=x2+bx+c，經過A(-1，0)，B(0，3)兩點，則這條拋物線的解析式為.

　　解析二次函數的解析式有三種形式：一般式y=ax2+bx+c(a≠0);頂點式y=a(x+)2+(a≠0);交點式y=a(x-x1)(x-x2)(a≠0).解題時應靈活根據條件選擇適當的解析式.本題已知與x軸的兩個交點坐標，所以選擇交點式，從而得函數解析式為y=(x+1)(x-3)，即y=x2-2x-3.

　　五、求取值范圍

　　例7二次函數y=ax2+bx+c圖象的一部分如圖所示，則a的取值范圍是.

　　解析首先拋物線的開口向下，所以a<0;

　　由圖可知，c=1，經過點(1，0)，則a+b=-1;對稱軸在y軸左側，則-<0，結合a<0可得b<0;由a+b=-1和b>0可得a>-1，a的'取值范圍-1

　　六、求函數值

　　例8已知二次函數y=2×2+9x+34，當自變量x

　　取兩個不同的值x1、x2時，函數值相等，則當自變量x取x1+x2時的函數值與()

　　(A) x=1時的函數值相等;

　　(B) x=0時的函數值相等;

　　(D) x=-時的函數值相等.

　　解析由題意可得x1、x2是關于對稱軸對稱，則x1+x2=2×(-)=-;又根據對稱性可得，點(-，y)關于對稱軸x=-的對稱點是(0，y)，所以應選擇B.

　　七、求最大或最小值