一、 函數(shù)的定義域、值域的綜合應用
已知二次函數(shù)f(x)＝ax2＋bx＋c(a0)滿足條件f(－x＋5)＝f(x－3)，f(2)＝0，且方程f(x)＝x有兩個相等的實根，問是否存在實數(shù)m，n(m＜n)，使得f(x)的定義域為[m，n]時，值域為[3m,3n]，如果存在，求m，n的值；如果不存在，請說明理由．
分析：主要考查二次函數(shù)的定義域、值域及與方程的結(jié)合．
解析：∵f(－x＋5)＝f(x－3)，
f(x)的圖象的對稱軸為直線x＝5－32＝1，
即－b2a＝1， ①
又f(2)＝0，即4a＋2b＋c＝0， ②
又∵方程f(x)＝x有兩個相等實根，
即ax2＋(b－1)x＋c＝0有兩個相等的實根．
＝(b－1)2－4ac＝0， ③
由①②③可得：
a＝－12，b＝1，c＝0.
則f(x)＝－12x2＋x＝－12(x－1)2＋1212；
故3n12，即n16.
f(x)在[m，n]上單調(diào)遞增，
假設存在滿足條件的m，n，則：
fm＝－12m2＋m＝3m，fn＝－12n2＋n＝3n，
m＝0或m＝－4，n＝0或n＝－4.
又m＜n16，m＝－4，n＝0.
即存在m＝－4，n＝0，滿足條件．
點評：求二次函數(shù)的值域一般采用配方法，結(jié)合其圖象的對稱性．解決定義域和值域共存問題時，不要盲目進行分類討論，而應從條件出發(fā)，分析和探討出解決問題的途徑，確定函數(shù)的單調(diào)性，從而使問題得以解決．
變式訓練
1．若函數(shù)f(x)的定義域和值域都是[a，b]，則稱[a，b]為f(x)的保值區(qū)間，求函數(shù)f(x)＝12(x－1)2＋1的保值區(qū)間．
解析：①當a1時，f(x)遞減，fa＝b，fb＝a，即12a－12＋1＝b，12b－12＋1＝a，無解；②當a1，b1時，定義域里有1，而值域里沒有1，不可能；③當1b時，f(x)為增函數(shù)，故fa＝a，fb＝ba＝1，b＝3，故保值區(qū)間為[1,3]．
二、 函數(shù)單調(diào)性和奇偶性的綜合應用
奇函數(shù)f(x)是R上的減函數(shù)，對于任意實數(shù)x，恒有f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0成立，求k的取值范圍．
分析：已知條件中給出函數(shù)不等式，故要考慮利用奇函數(shù)性質(zhì)和單調(diào)性化為不含函數(shù)符號的不等式來求解．
解析：由f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0得：
f(kx)＞－f(－x2＋x－2)．
∵f(x)為奇函數(shù)，
f(kx)＞f(x2－x＋2)．
又∵f(x)在R上是減函數(shù)，
kx＜x2－x＋2.
即x2－(k＋1)x＋2＞0恒成立．
＝(k＋1)2－42＜0，
解得－22－1＜k＜22－1.
點評：本題利用函數(shù)單調(diào)性與奇偶性將函數(shù)不等式f(kx)＋f(－x2＋x－2)＞0轉(zhuǎn)化為kx＜x2－x＋2，是解決此題的關鍵．
變式訓練
2．定義在R上的函數(shù)f(x)滿足f(0)0，且當x0時，f(x)1，對任意a，bR均有f(a＋b)＝f(a)f(b)．
(1)求證：f(0)＝1.
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