初中函數應用題及答案

2021-06-13 試題

　　1、(2014濟寧第8題)“如果二次函數y=ax2+bx+c的圖象與x軸有兩個公共點，那么一元二次方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根.”請根據你對這句話的理解，解決下面問題

　　A.m

　　【考點】：拋物線與x軸的交點.

　　【分析】：依題意畫出函數y=(x﹣a)(x﹣b)圖象草圖，根據二次函數的增減性求解.

　　【解答】：解：依題意，畫出函數y=(x﹣a)(x﹣b)的圖象，

　　函數圖象為拋物線，開口向上，與x軸兩個交點的橫坐標分別為a，b(a

　　方程1﹣(x﹣a)(x﹣b)=0轉化為(x﹣a)(x﹣b)=1，方程的兩根是拋物線y=(x﹣a)(x﹣b)與直線y=1的兩個交點.

　　由拋物線開口向上，則在對稱軸左側，y隨x增大而減少

　　故選A.

　　【點評】：本題考查了二次函數與一元二次方程的關系，考查了數形結合的數學思想.解題時，畫出函數草圖，由函數圖象直觀形象地得出結論，避免了繁瑣復雜的計算.

　　2、(2014年山東泰安第20題)二次函數y=ax2+bx+c(a，b，c為常數，且a0)中的x與y的部分對應值如下表：

　　X﹣1 0 1 3

　　y﹣1 3 5 3

　　下列結論：

　　(1)ac

　　(2)當x1時，y的值隨x值的增大而減小.

　　(3)3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個根;

　　(4)當﹣10.

　　其中正確的個數為()

　　A.4個B.3個C.2個D.1個

　　【分析】：根據表格數據求出二次函數的對稱軸為直線x=1.5，然后根據二次函數的性質對各小題分析判斷即可得解.

　　【解答】：由數據可得出：x=1時，y=5值最大，所以二次函數y=ax2+bx+c開口向下，a又x=0時，y=3，所以c=30，所以ac0，故(1)正確;

　　∵二次函數y=ax2+bx+c開口向下，且對稱軸為x==1.5，當x1.5時，y的值隨x值的增大而減小，故(2)錯誤;

　　∵x=3時，y=3，9a+3b+c=3，∵c=3，9a+3b+3=3，9a+3b=0，3是方程ax2+(b﹣1)x+c=0的一個根，故(3)正確;

　　∵x=﹣1時，ax2+bx+c=﹣1，x=﹣1時，ax2+(b﹣1)x+c=0，∵x=3時，ax2+(b﹣1)x+c=0，且函數有最大值，當﹣10，故(4)正確.

　　故選B.

　　【點評】：本題考查了二次函數的性質，二次函數圖象與系數的關系，拋物線與x軸的交點，二次函數與不等式，有一定難度.熟練掌握二次函數圖象的性質是解題的關鍵.

　　3、(2014年山東煙臺第11題)二次函數y=ax2+bx+c(a0)的部分圖象如圖，圖象過點(﹣1，0)，對稱軸為直線x=2，下列結論：

　　①4a+b=0;②9a+c③8a+7b+2c④當x﹣1時，y的.值隨x值的增大而增大.

　　其中正確的結論有()

　　A.1個B.2個C.3個D.4個

　　【分析】：根據拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2，則有4a+b=0;觀察函數圖象得到當x=﹣3時，函數值小于0，則9a﹣3b+c0，即9a+c由于x=﹣1時，y=0，則a﹣b+c=0，易得c=﹣5a，所以8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，再根據拋物線開口向下得a0，于是有8a+7b+2c由于對稱軸為直線x=2，根據二次函數的性質得到當x2時，y隨x的增大而減小.

　　【解答】：∵拋物線的對稱軸為直線x=﹣=2，b=﹣4a，即4a+b=0，所以①正確;

　　∵當x=﹣3時，y0，9a﹣3b+c0，即9a+c3b，所以②錯誤;

　　∵拋物線與x軸的一個交點為(﹣1，0)，a﹣b+c=0，

　　而b=﹣4a，a+4a+c=0，即c=﹣5a，8a+7b+2c=8a﹣28a﹣10a=﹣30a，

　　∵拋物線開口向下，a0，8a+7b+2c0，所以③正確;

　　∵對稱軸為直線x=2，

　　當﹣12時，y隨x的增大而減小，所以④錯誤.故選B.

　　【點評】：本題考查了二次函數圖象與系數的關系：二次函數y=ax2+bx+c(a0)，二次項系數a決定拋物線的開口方向和大小，當a0時，拋物線向上開口;當a0時，拋物線向下開口;一次項系數b和二次項系數a共同決定對稱軸的位置，當a與b同號時(即ab0)，對稱軸在y軸左;當a與b異號時(即ab0)，對稱軸在y軸右;常數項c決定拋物線與y軸交點.拋物線與y軸交于(0，c);拋物線與x軸交點個數由△決定，△=b2﹣4ac0時，拋物線與x軸有2個交點;△=b2﹣4ac=0時，拋物線與x軸有1個交點;△=b2﹣4ac0時，拋物線與x軸沒有交點.

　　4、(2014威海第11題)已知二次函數y=ax2+bx+c(a0)的圖象，則下列說法：

　　①c=0;②該拋物線的對稱軸是直線x=﹣1;③當x=1時，y=2a;④am2+bm+a0(m﹣1).

　　其中正確的個數是()

　　A.1 B.2 C.3 D.4

　　【考點】：二次函數圖象與系數的關系.

　　【分析】：由拋物線與y軸的交點判斷c與0的關系，然后根據對稱軸及拋物線與x軸交點情況進行推理，進而對所得結論進行判斷.

　　【解答】：解：拋物線與y軸交于原點，c=0，故①正確;

　　該拋物線的對稱軸是：，直線x=﹣1，故②正確;

　　當x=1時，y=2a+b+c，

　　∵對稱軸是直線x=﹣1，

　　，b=2a，

　　又∵c=0，

　　y=4a，故③錯誤;

　　x=m對應的函數值為y=am2+bm+c，

　　x=﹣1對應的函數值為y=a﹣b+c，又x=﹣1時函數取得最小值，

　　a﹣b+c

　　∵b=2a，

　　am2+bm+a0(m﹣1).故④正確.

　　故選：C.

　　【點評】：本題考查了二次函數圖象與系數的關系.二次函數y=ax2+bx+c(a0)系數符號由拋物線開口方向、對稱軸、拋物線與y軸的交點拋物線與x軸交點的個數確定.

　　5、(2014寧波第12題)已知點A(a﹣2b，2﹣4ab)在拋物線y=x2+4x+10上，則點A關于拋物線對稱軸的對稱點坐標為()

　　A.(﹣3，7)B.(﹣1，7)C.(﹣4，10)D.(0，10)

　　【考點】：二次函數圖象上點的坐標特征;坐標與圖形變化-對稱.

　　【分析】：把點A坐標代入二次函數解析式并利用完全平方公式整理，然后根據非負數的性質列式求出a、b，再求出點A的坐標，然后求出拋物線的對稱軸，再根據對稱性求解即可.

　　【解答】：解：∵點A(a﹣2b，2﹣4ab)在拋物線y=x2+4x+10上，

　　(a﹣2b)2+4(a﹣2b)+10=2﹣4ab，

　　a2﹣4ab+4b2+4a﹣8ab+10=2﹣4ab，

　　(a+2)2+4(b﹣1)2=0，

　　a+2=0，b﹣1=0，

　　解得a=﹣2，b=1，

　　a﹣2b=﹣2﹣21=﹣4，

　　2﹣4ab=2﹣4(﹣2)1=10，

　　點A的坐標為(﹣4，10)，

　　∵對稱軸為直線x=﹣=﹣2，

　　點A關于對稱軸的對稱點的坐標為(0，10).

　　故選D.

　　【點評】：本題考查了二次函數圖象上點的坐標特征，二次函數的對稱性，坐標與圖形的變化﹣對稱，把點的坐標代入拋物線解析式并整理成非負數的形式是解題的關鍵.

　　6、(2014溫州第10題)矩形ABCD的頂點A在第一象限，AB∥x軸，AD∥y軸，且對角線的交點與原點O重合.在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，若矩形ABCD的周長始終保持不變，則經過動點A的反比例函數y=(k0)中k的值的變化情況是()

　　A.一直增大B.一直減小C.先增大后減小D.先減小后增大

　　【考點】：反比例函數圖象上點的坐標特征;矩形的性質.

　　【分析】：設矩形ABCD中，AB=2a，AD=2b，由于矩形ABCD的周長始終保持不變，則a+b為定值.根據矩形對角線的交點與原點O重合及反比例函數比例系數k的幾何意義可知k=ABAD=ab，再根據a+b一定時，當a=b時，ab最大可知在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，k的值先增大后減小.

　　【解答】：解：設矩形ABCD中，AB=2a，AD=2B.

　　∵矩形ABCD的周長始終保持不變，

　　2(2a+2b)=4(a+b)為定值，

　　a+b為定值.

　　∵矩形對角線的交點與原點O重合

　　k=ABAD=ab，

　　又∵a+b為定值時，當a=b時，ab最大，

　　在邊AB從小于AD到大于AD的變化過程中，k的值先增大后減小.

　　故選C.

　　【點評】：本題考查了矩形的性質，反比例函數比例系數k的幾何意義及不等式的性質，有一定難度.根據題意得出k=ABAD=ab是解題的關鍵.

　　7、(2014年山東泰安第17題)已知函數y=(x﹣m)(x﹣n)(其中m

　　A.m+n0 B m+n0 C.m-n0 D.m-n0