一、求被除數(shù)類
1. 同余加余，同差減差
例1.某數(shù)被7除余6，被5除余3，被3除余3，求此數(shù)最小是多少？
解：因?yàn)楸?除余3，被3除余3中余數(shù)相同，即都是3(同余)，所以要先求滿足5和3的最小數(shù)，[5、3]=15，
15+3=18，
18÷7=2……4不余6，(不對(duì))
15×2=30
30+3)÷7=4……5不余6(不對(duì))
15×3+3)÷7=6……6(對(duì))
所以滿足條件的最小數(shù)是48。
例2.某數(shù)被3除余2，被5除余4，被7除余5，這個(gè)數(shù)最小是多少？
解：因?yàn)楸?除余2，被5除余4中都差1就可整除，即同差，所以要先滿足5和3的最小數(shù)，[5、3]=15，
15-1=14，
14÷7=2……0不余5(不對(duì))
15×6-1)÷7=12……5
所以滿足條件的最小數(shù)是89。
例3.一個(gè)四位數(shù)，它被131除余112，被132除余98，求這個(gè)四位數(shù)？
解：除數(shù)相差132-131=1，余數(shù)相差112-98=14，說(shuō)明這個(gè)四位數(shù)中有14個(gè)131還余112。所以131×14+112=1946。
二、求除數(shù)類
1.若a÷c=……r；b÷c=……r.則cㄏ(a-b)。
例1.一個(gè)數(shù)去除551，745，1133這3個(gè)數(shù)，余數(shù)都相同。問(wèn)這個(gè)數(shù)最大可能是幾？
解：745-551=194，1133-745=388。(194，388)=194，所以這個(gè)數(shù)最大是194。
2.若a÷c=……r1；b÷c=……r2， r1+ r2=d.則cㄏ(a+b-d)。
例2.有一個(gè)整數(shù)，用它分別去除157，234和324，得到的三個(gè)余數(shù)之和是100。求這個(gè)整數(shù)？
解：157+324+234-100=615，615=3×5×41。100÷3=33……1，即最小的除數(shù)應(yīng)大于34，小于157。所以滿足條件的有41、123兩個(gè)，經(jīng)過(guò)驗(yàn)算可知正確答案為41。
三、求余數(shù)類
例1.已知整數(shù)n除以42余12，求n除余21的余數(shù)？
解：由已知條件可知，n=42的倍數(shù)+12=21的2倍的倍數(shù)+12。所以，n除以21的余數(shù)為12。
例2.有一個(gè)整數(shù)，除1200，1314，1048所得的余數(shù)都相同且大于5。問(wèn)：這個(gè)相同的余數(shù)是多少？
解：因?yàn)?/p>
1314-1200=114=3×38，
1200-1048=152=4×38。
某自然數(shù)應(yīng)當(dāng)是這兩個(gè)差的公約數(shù)，即38。又因?yàn)?/p>
1200÷38=31(余22)
1314÷38=34(余22)。
所以，這個(gè)相同的余數(shù)是22。
例3.求19901990除以3所得的余數(shù)？
解：由同余的性質(zhì)可知：對(duì)于同一個(gè)模，同余的乘方仍同余。
因?yàn)椋?1990被3除余1，即19901990≡11990≡1， 所以19901990除以3所得的余數(shù)為1。
例4.有一個(gè)77位數(shù)，它的各位數(shù)字都是1，這個(gè)數(shù)除以7，余數(shù)是多少？
解：根據(jù)被7整除的特征知，111111能被7整除。
77 ÷6=12(余5)，
11111÷7=1587(余2)。
所以，這個(gè)數(shù)除以7的余數(shù)是2。
例5.1，1，2，3，5，8，13，……，90個(gè)數(shù)排成一列，從第三個(gè)數(shù)起，每個(gè)數(shù)都等于它前面兩個(gè)數(shù)的和。那么，這90個(gè)數(shù)的和除以5的余數(shù)是多少？
解：這一列數(shù)被5除的余數(shù)依次為1，1，2，3，0，3，3，1，4，0，4，4，3，2，0，2，2，4，1，0，……。
余數(shù)從頭起20個(gè)數(shù)一個(gè)周期循環(huán)出現(xiàn)，而且這20個(gè)數(shù)的和40又恰為5的倍數(shù)。
90÷20=4(余10)
這列數(shù)中前10個(gè)數(shù)的余數(shù)和為
1+1+2+3+0+3+3+1+4+0=18
18÷5=3(余3)
所以，這90個(gè)數(shù)的和除以5的余數(shù)為3。
練習(xí)題：
1. 一個(gè)三位數(shù)被37除余17，被36除余3，那么這個(gè)三位數(shù)是多少？
2. 已知整數(shù)n除以3余2，求n除以12的余數(shù)？
3. 某數(shù)除以13余5，除以17余8，除以21余4，求此數(shù)最小是多少？
4. 號(hào)碼分別為101，126，173，193的四個(gè)運(yùn)動(dòng)員進(jìn)行乒乓球比賽，規(guī)定每?jī)扇吮荣惖?盤數(shù)是他們號(hào)碼的和被3除所得的余數(shù)。那么，打球盤數(shù)最多的運(yùn)動(dòng)員打了多少盤？
5. 求21000除以13的余數(shù)是多少？
6. 當(dāng)n是1到1992之間的一個(gè)自然數(shù)時(shí)，把它的各位數(shù)字相加，如果它的和不是一個(gè)一位數(shù)，那么把它的各位數(shù)再相加，如此繼續(xù)下去，直到得到一個(gè)從1到9的一位數(shù)為止(例如：468→18→9)。問(wèn)在1到1992這1992個(gè)自然數(shù)經(jīng)過(guò)上述方法處理后所得的1992個(gè)一位數(shù)中，3多還是4多？多幾個(gè)？
7. 由2000個(gè)2組成的數(shù)除以13，所得的余數(shù)是幾？
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