論數學分析與概率論的相互關系論文

2021-06-20 論文

　　0引言

　　概率論與數學分析是數學的兩個不同分支,數學分析是確定性數學的典型代表,概率論則是隨機數學的典型代表。由于兩者所研宄的方向不同，故它們的發展道路大相徑庭,但是在各自的發展過程中二者卻又緊密地結合在一起,數學分析的發展為概率論奠定了基礎，而概率論中隨機性、反因果論也逐漸滲透到數學分析當中，推動著數學分析的發展。研宄概率論與數學分析兩者之間的相互關系，并尋繹概率論在解決數學分析中某些比較困難的問題的方法、思想，是很有意義的。

　　1.數學分析對概率論的滲透與推動

　　1933年，蘇俄數學家柯爾莫哥洛夫以集合論、測度論為依據，導入了概率論的公理化體系，概率論得以迅猛發展,在其迅猛發展的道路上，數學分析的思想與方法隨處可見。

　　1.1集合論與概率論的公理化體系

　　由于數學的研究對象一般都是具有某種性質或結構。世紀數學分析的嚴密化過程當中培育出來的，兩者之間是源和流的關系；又由于勒貝格積分建立了集合論與測度論的聯系，進而形成了概率論的公理化體系；因而集合論對概率論的滲透，可視為微積分對概率論的一次較有力的推動。

　　數學分析中主要有黎曼積分和勒貝格積分兩種。黎曼積分處理性質良好的函數時得心應手,但對于級數、多元函數、積分與極限交換次序等較為棘手的問題時，常常比較困難。勒貝格積分的出現,使黎曼積分遇到的難題迎刃而解,微積分隨之進化到了實變函數論的新階段。有了勒貝格積分理論以后,集合測度與事件概率之間的相似性便顯示出來了。不僅如此,測度論中的幾乎處處收斂與依測度收斂,實質上就是弱大數定律與強大數定律中的收斂。1933年,蘇俄數學家柯爾莫哥洛夫，建立了在測度論基礎上的概率論的公理化體系2,統一了原先概率的古典定義、幾何定義及頻率定義紛爭不一的局面。他建立的公理化體系，具備了獨立性、無矛盾性、完備性的公理化特征,確定了事件與集合、概率與測度的關系，使集合論加盟概率論。概率論在堅實的公理化基礎上，已成為一門嚴格的演繹科學,取得了與其他數學分支同等的地位，并通過集合論與其他數學分支密切地聯系著。

　　1.2傅立葉變換與特征函數傅立葉級數是數學分析中十分有效的工具。事實上，不僅是傅立葉級數,還有傅立葉積分、傅立葉變換等等也都是數學分析中的重要工具。它們除了在數學分析領域內發揮著重要的作用之外，也已滲透到了概率論領域當中。其中，把傅立葉變換應用于分布函數或密度函數，就產生了所謂的“特征函數”于是，對于處理獨立隨機變量和與隨機變量序列的問題,就顯得十分方便了。

　　在數學分析中有如下定理：

　　正是由于概率論運用了傅立葉變換的這些相關知識，構造和引進了特征函數,使多維隨機變量分布、極限分布研宄更便捷,從而把概率論的理論研宄推進一個嶄新的階段。

　　1.3雅可比行列式與隨機變量函數的分布在數學分析當中，我們所接觸的函數大多是顯函數，但除了顯函數外，也常會遇到另一種形式的函數一隱函數,尤其是隱函數組。為了確定所給方程組的隱函數組是否存在,德國數學家雅可比在偏微分方程的研宄中，引進了“雅可比行列式”對此問題給予了解決。同樣，在概率論中，應用雅可比行列式J,可以一下子解決多維隨機變量（X,)的函數zU,)的概率分布問題。

　　1.4同階數量級與極限定理大數定律與中心極限定理是概率論研宄的中心問題，

　　也是數理統計中的理論基礎。由于兩者討論的都是隨機變量序列的極限問題,這與數學分析中的數列極限、函數列極限極為相似且聯系十分密切，因此,對于數學分析中的同階數量級方法在解決概率論的大數定律與中心極限定理的有關問題中同樣是適用的。

　　1.5函數與隨機變量、分布函數

　　函數是數學分析中最基本的概念之一，當它被引入概率論領域以后,概率論中的許多問題便得到了簡化，從而使概率論進入了一個嶄新的階段。

　　隨機變量與分布函數是概率論中最為重要的兩個概念,并且都是函數,其中，隨機變量X為集函數，分布函數為實函數。在函數關系的對應下，隨機事件先是被簡化為集合，繼之被簡化為實數，隨著樣本空間轉化為數集,概率相應地由集函數約化為實函數。以函數的觀點衡量分布函數,分布函數的性質是十分良好的：單調有界、可積、幾乎處處連續、幾乎處處可導。此外，隨機變量X的數字特征、概率密度與分布函數的關系、連續型隨機變量X的概率計算等等，同樣運用了微積分的現成成果。

　　隨機變量與分布函數的導入,從理論上結束了概率的古典時代。概率論的公理化、體系化的動力源，不僅是集合論和測度論,更重要、更基本的,仍然是數學分析那一套理論。概率論形成體系后的快速發展,不妨視作概率論向著微積分的靠攏與回歸。

　　盡管隨機變量X的導入方式有一定的自由度，不具備唯一性;盡管隨機變量X的取值需服從一定的.概率分布;盡管分布函數可以視為集函數，可以描述任何種類的隨機變量X的隨機性質，但是在函數的范疇內，它們的本質是一致的，既然都是函數家族的成員，就具備了確定性和因果律。

　　綜上可見,數學分析的思想方法，已經滲透到了概率論的各個方面。沒有微積分的推動，就沒有概率論的公理化與系統化,概率論就難以形成一門獨立的學科。

　　2概率方法在數學分析中的應用

　　從上可知,在數學分析的滲透與推動作用下，概率論得到了飛快地發展。與此同時，由于概率論本身所具有的特征,使得數學分析中某些比較困難的問題得以高效簡捷性地解決。

　　2.1數學期望與不等式不等式是數學分析中的重要內容,在數學分析中不等式問題經常碰到,例如級數不等式、積分不等式等等。數學分析中可以使用多種方法進行證明這些不等式，可是證明起來卻相當不容易。然而倘若巧妙地運用概率論中數學期望性質，數學分析中的不等式問題便可以很輕易地得到證明。

　　概率論中數學期望的性質：

　　2.2中心極限定理在數學分析中的特殊作用

　　概率論的中心極限定理為棣莫弗-拉普拉斯中心極限定理,林德貝格-勒維中心極限定理，林德貝格中心極限定理、李雅普諾夫中心極限定理[3]。這4個中心極限定理的建立不僅為概率論的發展開辟了廣闊的前景，同時使概率論與數學分析保持著密切地聯系。

　　極限是數學分析的基礎,微積分中一系列重要的概念和方法,都與極限關系密切，數學分析中有一些復雜的極限問題,用通常的數學分析方法是難以計算的，但應用概率論中的中心極限定理則可較簡便地得以解決。

　　由此可見,概率論不僅能解決隨機的數學問題，同樣也可以解決一些確定的數學問題,是一門同時包含著確定性和非確定性二重品格的特殊的數學學科。

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