高三基本不等式課件
【教學(xué)目標(biāo)】
1．知識與技能：進(jìn)一步掌握基本不等式 ；會應(yīng)用此不等式求某些函數(shù)的最值；能夠解決一些簡單的實際問題
2．過程與方法：通過兩個例題的研究，進(jìn)一步掌握基本不等式，并會用此定理求某些函數(shù)的最大、最小值。
3．情態(tài)與價值：引發(fā)學(xué)生學(xué)習(xí)和使用數(shù)學(xué)知識的興趣，發(fā)展創(chuàng)新精神，培養(yǎng)實事求是、理論與實際相結(jié)合的科學(xué)態(tài)度和科學(xué)道德。
【教學(xué)重點】
基本不等式 的應(yīng)用
【教學(xué)難點】
利用基本不等式 求最大值、最小值。
【教學(xué)過程】
1.課題導(dǎo)入
1．重要不等式：
如果
2．基本不等式：如果a,b是正數(shù)，那么
3.我們稱 的算術(shù)平均數(shù)，稱 的幾何平均數(shù).
成立的條件是不同的：前者只要求a,b都是實數(shù)，而后者要求a,b都是正數(shù)。
2.講授新課
例1 (1)已知m>0,求證 。
[思維切入]因為m>0,所以可把 和 分別看作基本不等式中的a和b, 直接利用基本不等式。
[證明]因為 m>0,，由基本不等式得
當(dāng)且僅當(dāng) =，即m=2時，取等號。
規(guī)律技巧總結(jié) 注意：m>0這一前提條件和 =144為定值的前提條件。
(2) 求證: .
[思維切入] 由于不等式左邊含有字母a,右邊無字母,直接使用基本不等式,無法約掉字母a,而左邊 .這樣變形后,在用基本不等式即可得證.
[證明]
當(dāng)且僅當(dāng) =a-3即a=5時,等號成立.
規(guī)律技巧總結(jié) 通過加減項的方法配湊成基本不等式的形式.
例2 某工廠要建造一個長方體無蓋貯水池，其容積為 4800m3,深為3m，如果池底每1m2的造價為150元，池壁每1m2的造價為120元，問怎樣設(shè)計水池能使總造價最低，最低總造價是多少元？
分析：此題首先需要由實際問題向數(shù)學(xué)問題轉(zhuǎn)化，即建立函數(shù)關(guān)系式，然后求函數(shù)的最值，其中用到了均值不等式定理。
解：設(shè)水池底面一邊的長度為xm，水池的總造價為l元，根據(jù)題意，得
當(dāng)
因此，當(dāng)水池的底面是邊長為40m的正方形時，水池的總造價最低，最低總造價是297600元
評述：此題既是不等式性質(zhì)在實際中的應(yīng)用，應(yīng)注意數(shù)學(xué)語言的應(yīng)用即函數(shù)解析式的建立，又是不等式性質(zhì)在求最值中的應(yīng)用，應(yīng)注意不等式性質(zhì)的適用條件。
歸納：用均值不等式解決此類問題時，應(yīng)按如下步驟進(jìn)行：
(1)先理解題意，設(shè)變量，設(shè)變量時一般把要求最大值或最小值的變量定為函數(shù)；
(2)建立相應(yīng)的'函數(shù)關(guān)系式，把實際問題抽象為函數(shù)的最大值或最小值問題；
(3)在定義域內(nèi)，求出函數(shù)的最大值或最小值；
(4)正確寫出答案.
3.隨堂練習(xí)
1.已知x≠0，當(dāng)x取什么值時，x2＋ 的值最小?最小值是多少?
2．課本第101頁的練習(xí)4,習(xí)題3.
4.課時小結(jié)
本節(jié)課我們用兩個正數(shù)的算術(shù)平均數(shù)與幾何平均數(shù)的關(guān)系順利解決了函數(shù)的一些最值問題。在用均值不等式求函數(shù)的最值，是值得重視的一種方法，但在具體求解時，應(yīng)注意考查下列三個條件：(1)函數(shù)的解析式中，各項均為正數(shù)；(2)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項的和或積必須有一個為定值；(3)函數(shù)的解析式中，含變數(shù)的各項均相等，取得最值 即用均值不等式求某些函數(shù)的最值時，應(yīng)具備三個條件：一正二定三相等。
5.作業(yè)設(shè)計
課本第101頁習(xí)題[A]組的第2、4題
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