一、函數插值實驗教學設計
函數插值理論在數值分析中是非常重要的一個知識點，也是離散函數逼近的重要方法。其原理是利用插值法，可在離散數據的基礎上得到一條連續函數通過全部已知數據點，進而可以估算出其他節點處的近似值。插值方法主要有拉格朗日插值、牛頓插值、分段線性插值、樣條插值等，其理論煩瑣，但是又非常重要，它是數值積分理論的重要理論基礎。插值方法很多，如何在理論和實驗教學中讓學生掌握各個方法的原理，以及每個插值方法使用的注意事項，是擺在教師面前的難題。課堂注重理論，實驗注重做法，在實驗教學中，筆者認為應該在加強課堂理論學習的基礎上，實驗要注重如何讓學生鞏固課堂學習的成果，把插值的原理和特點通過設計的算例讓學生自己描繪出來。學生通過實驗全面認識各個插值理論的優缺點，為以后數值積分的學習打下基礎。為此，在插值實驗這一節，我們為學生設計了一個比較實驗，通過每一對有特點的算例的比較，讓學生在比較中獲得各個插值方法的使用注意事項和具體的操作方法，知道什么可以做什么不能做，并且獲得對插值的全新認識。實驗的首要任務是編程，利用MATLAB數學軟件結合課堂學到的理論公式編寫拉格朗日插值和牛頓插值的程序。盡管MATLAB有內置的命令實現拉格朗日插值，但是學生無法通過內置命令掌握拉格朗日插值理論公式，并且由于通過MATLAB編程實現拉格朗日插值和牛頓插值比較容易，所以還是要求學生通過理論公式獨立編程，以加深對理論公式的記憶和理解。在編程的基礎上，要求學生利用編寫的程序完成以下對比實驗。
1.從函數y=sin（x），x∈（-2π，2π）中等距離取5個點，要求學生分別利用拉格朗日插值和牛頓插值進行求插值函數的操作
觀察利用兩個插值原理求出來的插值函數有何異同。2.從多項式y=x4+x3+x2+x+1中等距離取5個點，要求學生利用拉格朗日插值方法進行插值操作，觀察獲得的插值函數和原函數有何異同。3.提示學生對函數y=sin（x），x∈（-2π，2π）的'5點拉格朗日插值效果不好，若要提高插值效果，將節點個數增加到11個，將插值效果進行比較。4.在上例的基礎上，讓學生通過畫圖比較函數f（x）=11+25x2，x∈（-1，1）的5點拉格朗日插值和11點拉格朗日插值效果。提示學生可以進一步增加節點個數，觀察得出的圖形。5.利用分段插值的方法，對函數（fx）=11+25x2，x∈（-1，1）進行11點插值，與11點拉格朗日插值的插值效果比較。6.保留拉格朗日插值方法，取消等距節點，提示學生利用[-1，1]上的切比雪夫多項式的零點（切比雪夫點）xk=cos（2k-1）π2（n+1）--，k=1，2，…，n+1對以上兩個函數進行拉格朗日插值，與等距節點的插值效果進行比較。我們希望學生做完以上案例后不但能順利完成結果的獲得，而且還能利用課堂學到的理論知識分析得到的結果，這些結果都是課堂上講解的理論知識的數值例子，能做出來，會分析，這是對學生的鍛煉，也能提高學生的動手能力和學習積極性。以下我們對以上案例進行分析。1.通過案例1，學生得到結果后能了解到，在相同的節點條件下，利用拉格朗日插值和牛頓插值得到的插值多項式是一樣的，這與課堂的理論分析完全一致。這個結果是學生自己完成實驗后得到的，與課堂理論分析結合，學生更能理解兩種插值的相同之處。而通過編寫兩個插值方法的MATLAB程序，學生既可以學習編程，還可以掌握兩者達到同一目的的不同之處。
2.通過上例可得出拉格朗日插值和牛頓插值結果
一樣的結論，所以對四次多項式y=x4+x3+x2+x+1進行5點插值只需利用拉格朗日插值即可。學生可通過得到的結果和圖形知道，其實得到的插值多項式就是原來的四次多項式本身，原函數和插值多項式兩者的誤差為零。這個結論可以提示學生通過拉格朗日插值理論的誤差公式解釋和分析，從而復習和掌握拉格朗日插值誤差公式。
3.通過案例1得到的插值多項式的圖形對比原函數圖形
一般來說函數的5點插值的逼近效果還是不理想的，誤差比較大。若要提高逼近效果，首先讓學生通過實驗觀察提高節點個數對插值的逼近效果的影響。所以設計了一個對比實驗讓學生對兩個函數進行高次插值。通過實驗結果的觀察可知，對于函數y=sin（x），x∈（-2π，2π），11點的插值逼近效果在整個區間上都比5點插值效果好，幾乎和原函數重合了提高插值次數達到了良好的效果。而對于龍格函數f（x）=11+25x2，x∈（-1，1），高次插值出現了龍格現象，即區間中間部分逼近效果非常好，而區間兩邊出現非常大的震蕩。通過這兩個案例的比較分析，讓學生自己總結出光靠增加節點個數提高插值的逼近效果不可行，需要另找辦法。龍格現象是插值理論的重要知識點，在課堂教學中學生對該現象只停留在理論上，通過該實驗案例的分析，學生在自己做出龍格現象圖形的時候，能加深對龍格現象和拉格朗日插值的缺點的理解。而對于學生普遍會存在疑問，龍格現象只是龍格函數的特有現象嗎？y=sin（x），x∈（-2π，2π）不會出現龍格現象嗎？可提示學生繼續對沒有出現龍格現象的函數增加插值節點，觀察龍格現象是否是所有函數的共有特點，并且這可以留作實驗作業讓學生課后自己完成。
4.此案例提供一個提高逼近效果的方法，就是分段插值
利用分段插值，可以在增加節點個數的情況下，保持插值次數不增加，從而保證的插值效果。學生通過此案例可以理解為什么介紹完整體插值后還需要講解分段插值，老師在以后介紹數值積分中的復化積分公式的時候，進行比較講解。5.通過切比雪夫點的插值案例，提示學生分段插值不是提高逼近效果的唯一方法，通過改變節點的選取，把原來的等距節點變為區間上正交多項式的零點，可以在增加節點個數，讓拉格朗日插值的逼近效果也相應提高而不會出現龍格現象。這個案例可以和以后數值積分中的高斯求積公式配合，讓學生了解正交多項式的零點在函數逼近方面的重要應用。并且在介紹完[-1，1]上的切比雪夫點插值后，可以預留作業，讓學生在其他區間上尋找正交多項式零點進行拉格朗日插值，讓學生對正交多項式理論加深印象，為以后數值積分的高斯求積公式的介紹鋪墊。
二、結束語
本文介紹了在數值分析實驗教學中引入比較教學法，通過在函數插值實驗中設計的幾對比較案例，讓學生在完成實驗過程中經比較加深理解和掌握理論課上介紹的知識。課堂理論教學讓學生聽與看獲得理論知識，實驗教學強調學生做，讓學生在做的過程中獲得比在課堂聽更多的知識和操作方法，也是把學到的知識用到實際中關鍵的一步。通過在學生中進行的教學試驗，學生在一個綜合設計性實驗（4課時）中，在有MATLAB基礎的前提下，完全能從編寫程序，學會程序的操作開始，獨立完成以上比較實驗，并且能針對每個比較實驗的案例，給出合理的理論分析，達到良好的教學效果。
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