數的概念的發展

2022-04-14 教案

　　教學目標

　　（1）了解數的概念發展的過程和動力；

　　（2）了解引進虛數單位i的必要性和作用；理解i的性質．

　　（3）正確對復數進行分類，掌握數集之間的從屬關系；

　　（4）了解數系從自然數到有理數到實數再到復數擴充的基本思想．

　　教學建議

　　1．教材分析

　　（1）知識結構

　　首先簡明扼要地對已經學過的數集因生產與科學發展的需要而逐步擴充的過程作了概括；然后說明，數集的每一次擴充，對數學學科本身來說，也解決了原有數集中某種運算不是永遠可以實施的矛盾，使得某些代數方程在新的數集中能夠有解。從而引出虛數單位i及其性質，接著，將數的范圍擴充到復數，并指出復數后來由于在科學技術中得到應用而進一步發展。

　　①從實際生產需要推進數的發展

　　自然數整數有理數無理數

　　②從解方程的需要推進數的發展

　　負數分數無理數虛數

　　（2）重點、難點分析

　　（一）認識的動力

　　從正整數擴充到整數，從整數擴充到有理數，從有理數擴充到實數，數的概念是不斷發展的，其發展的動力來自兩個方面。

　　①解決實際問題的需要

　　由于計數的需要產生了自然數；為了表示具有相反意義的量的需要產生了整數；由于測量的需要產生了有理數；由于表示量與量的比值（如正方形對角線的長度與邊長的比值）的需要產生了無理數（既無限不循環小數）。

　　②解方程的需要。

　　為了使方程有解，就引進了負數；為了使方程有解，就要引進分數；為了使方程有解，就要引進無理數。

　　引進無理數后，我們已經能使方程永遠有解，但是，這并沒有徹底解決問題，當時，方程在實數范圍內無解。為了使方程（）有解，就必須把實數概念進一步擴大，這就必須引進新的數。

　　（二）注意數的概念在擴大時要遵循的原則

　　第一，要能解決實際問題中或數學內部的矛盾。現在要解決的就是在實數集中，方程無解這一矛盾。

　　第二，要盡量地保留原有數集（現在是實數集）的性質，特別是它的運算性質。

　　（三）正確確認識數集之間的關系

　　①有理數就是一切形如的數，其中，所以有理數集實際就是分數集．

　　②“循環節不為0的循環小數也都是有理數”．

　　③｛有理數｝=｛分數｝=｛循環小數｝，｛實數｝=｛小數｝．

　　④自然數集N、整數集Z、有理數集Q、實數集R、復數集C之間有如下的包含關系：

　　2．教法建議

　　（1）注意知識的連續性：數的發展過程是漫長的，每一次發展都來自于生產、生活和計算等需要，所以在教學時要注意使學生認識到數的發展的兩個動力．

　　（2）創造良好的課堂氣氛：由于本節課要了解擴充實數集的必要性，所以，教師可以多向學生介紹一些數的發展過程當中的一些科學史，課堂學習的氣氛可以營造成一種師生共同研究、共同交流的氣氛。

　　教學目的

　　1。使學生了解數是在人類社會的生產和生活中產生和發展起來的，了解虛數產生歷史過程；

　　2。理解并掌握虛數單位的定義及性質；

　　3。掌握復數的定義及復數的分類．

　　教學重點

　　虛數單位的定義、性質及復數的分類．

　　教學難點

　　虛數單位的性質．

　　教學過程

　　一、復習引入

　　原始社會，由于計數的需要產生了自然數的概念，隨著文字的產生和發展，出現了記數的符號，進而建立了自然數的概念。自然數的全體構成自然數集。

　　為了表示具有相反意義的量引進了正負數以及表示沒有的零，這樣將數集擴充到有理數集

　　有些量與量之間的比值，如用正方形的邊長去度量它的對角線所得的結果，無法用有理數表示，為解決這種矛盾，人們又引進了無理數，有理數和無理數合并在一起，構成實數集．

　　數的概念是人類社會的生產和生活中產生和發展起來的，數學理論的研究和發展也推動著，數已經成為現代社會生活和科學技術時刻離不開的科學語言和工具．

　　二、新課教學

　　（一）虛數的產生

　　我們知道，在實數范圍內，解方程是無能為力的，只有把實數集擴充到復數集才能解決．對于復數（a、b都是實數）來說，當時，就是實數；當時叫虛數，當時，叫做純虛數．可是，歷史上引進虛數，把實數集擴充到復數集可不是件容易的事，那么，歷史上是如何引進虛數的呢？

　　16世紀意大利米蘭學者卡當（1501—1576）在1545年發表的《重要的藝術》一書中，公布了三次方程的一般解法，被后人稱之為“卡當公式”．他是第一個把負數的平方根寫到公式中的數學家，并且在討論是否可能把10分成兩部分，使它們的乘積等于40時，他把答案寫成，盡管他認為和這兩個表示式是沒有意義的、想象的、虛無飄渺的，但他還是把10分成了兩部分，并使它們的乘積等于40．給出“虛數”這一名稱的是法國數學家笛卡爾（1596—1650），他在《幾何學》（1637年發表）中使“虛的數’‘與“實的數”相對應，從此，虛數才流傳開來．

　　數系中發現一顆新星——虛數，于是引起了數學界的一片困惑，很多大數學家都不承認虛數．德國數學家菜不尼茨（1664—1716）在1702年說：“虛數是神靈遁跡的精微而奇異的隱避所，它大概是存在和虛妄兩界中的兩棲物”．瑞士數學大師歐拉（1707—1783）說：“一切形如，習的數學式子都是不可能有的，想象的數，因為它們所表示的是負數的平方根．對于這類數，我們只能斷言，它們既不是什么都不是，也不比什么都不是多些什么，更不比什么都不是少些什么，它們純屬虛幻．”然而，真理性的東西一定可以經得住時間和空間的考驗，最終占有自己的一席之地．法國數學家達蘭貝爾（．1717—1783）在1747年指出，如果按照多項式的四則運算規則對虛數進行運算，那么它的結果總是的形式（a、b都是實數）（說明：現行教科書中沒有使用記號而使用）．法國數學家棣莫佛（1667—1754）在1730年發現公式了，這就是著名的探莫佛定理．歐拉在1748年發現了有名的關系式，并且是他在《微分公式》（1777年）一文中第一次用i來表示—1的平方根，首創了用符號i作為虛數的單位．“虛數”實際上不是想象出來的，而它是確實存在的．挪威的測量學家未塞爾（1745—1818）在1779年試圖給于這種虛數以直觀的幾何解釋，并首先發表其作法，然而沒有得到學術界的重視．

　　德國數學家高斯（1777—1855）在1806年公布了虛數的圖象表示法，即所有實數能用一條數軸表示，同樣，虛數也能用一個平面上的點來表示．在直角坐標系中，橫軸上取對應實數a的點A，縱軸上取對應實數b的點B，并過這兩點引平行于坐標軸的直線，它們的交點C就表示復數．象這樣，由各點都對應復數的平面叫做“復平面”，后來又稱“高斯平面”．高斯在1831年，用實數組（a，b）代表復數，并建立了復數的某些運算，使得復數的某些運算也象實數一樣地“代數化”．他又在1832年第一次提出了“復數”這個名詞，還將表示平面上同一點的兩種不同方法——直角坐標法和極坐標法加以綜合．統一于表示同一復數的代數式和三角式兩種形式中，并把數軸上的點與實數—一對應，擴展為平面上的點與復數—一對應．高斯不僅把復數看作平面上的點，而且還看作是一種向量，并利用復數與向量之間—一對應的關系，闡述了復數的幾何加法與乘法．至此，復數理論才比較完整和系統地建立起來了．

　　經過許多數學家長期不懈的努力，深刻探討并發展了復數理論，才使得在數學領域游蕩了200年的幽靈——虛數揭去了神秘的面紗，顯現出它的本來面目，原來虛數不虛呵．虛數成為了數系大家庭中一員，從而實數集才擴充到了復數集．

　　數學本身的發展有著極其重要的意義，而且為證明機翼上升力的基本定理起到了重要作用，并在解決堤壩滲水的問題中顯示了它的威力，也為建立巨大水電站提供了重要的理論依據．

　　（）叫復數的代數形式；

　　b叫復數（）的虛部，用表示；

　　（）當時z是實數，當時，z是虛數．

　　例2。（）取什么值時，復數是（？）

　　（1）實數（2）純虛數（3）零

　　解：∵，∴，

　　（1）z為實數，則解得：或

　　（2）z為實數，則解得：

　　（3）z為零，則解得：