13．1.2 線段的垂直平分線的性質第1課時 線段的垂直平分線的性質和判定
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1．掌握線段垂直平分線的性質．(重點)
2．探索并總結出線段垂直平分線的性質，能運用其性質解答簡單的問題．(難點)
一、情境導入
如圖所示，有一塊三角形田地，AB＝AC＝10m，作AB的垂直平分線ED交AC于D，交AB于E，量得△BDC的周長為17m，你能幫測量人員計算BC的長嗎？
二、合作探究
探究點一：線段垂直平分線的性質
【類型一】 應用線段垂直平分線的性質求線段的長
如圖，在△ABC中，AB＝AC＝20cm，DE垂直平分AB，垂足為E，交AC于D，若△DBC的周長為35cm，則BC的長為( )
A．5cm
B．10cm
C．15cm
D．17.5cm
解析：∵△DBC的周長＝BC＋BD＋CD＝35cm，又∵DE垂直平分AB，∴AD＝BD，故BC＋AD＋CD＝35cm.∵AC＝AD＋DC＝20cm，∴BC＝35－20＝15cm.故選C.
方法總結：利用線段垂直平分線的性質，可以實現線段之間的相互轉化，從而求出未知線段的長．
【類型二】 線段垂直平分線的性質與全等三角形的綜合運用
如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，E為CD的中點，連接AE、BE，BE⊥AE，延長AE交BC的延長線于點F.
求證：(1)FC＝AD；(2)AB＝BC＋AD.
解析：(1)根據AD∥BC可知∠ADC＝∠ECF，再根據E是CD的中點可求出△ADE≌△FCE，根據全等三角形的性質即可解答．(2)根據線段垂直平分線的性質判斷出AB＝BF即可．
證明：(1)∵AD∥BC，∴∠ADC＝∠ECF.∵E是CD的中點，∴DE＝EC.又∵∠AED＝∠CEF，∴△ADE≌△FCE，∴FC＝AD.
(2)∵△ADE≌△FCE，∴AE＝EF，AD＝CF.∵BE⊥AE，∴BE是線段AF的垂直平分線，∴AB＝BF＝BC＋CF.∵AD＝CF，∴AB＝BC＋AD.
方法總結：此題主要考查線段的垂直平分線的性質等幾何知識．線段垂直平分線上的點到線段兩個端點的距離相等，利用它可以證明線段相等．
【類型三】 線段垂直平分線與角平分線的綜合運用
如圖，在四邊形ADBC中，AB與CD互相垂直平分，垂足為點O.
(1)找出圖中相等的線段；
(2)OE，OF分別是點O到∠CAD兩邊的垂線段，試說明它們的大小有什么關系．
解析：(1)由垂直平分線的性質可得出相等的線段；
(2)由條件可證明△AOC≌△AOD，可得AO平分∠DAC，根據角平分線的性質可得OE＝OF.
解：(1)∵AB、CD互相垂直平分，∴OC＝OD，AO＝OB，且AC＝BC＝AD＝BD；
(2)OE＝OF，理由如下：在△AOC和△AOD中，∵∴△AOC≌△AOD(SSS)，∴∠CAO＝∠DAO.又∵OE⊥AC，OF⊥AD，∴OE＝OF.
方法總結：本題是線段垂直平分線的性質和角平分線的性質的綜合，掌握它們的適用條件和表示方法是解題的關鍵．
探究點二：線段垂直平分線的判定
如圖所示，在△ABC中，AD平分∠BAC，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F，試說明AD與EF的關系．
解析：先利用角平分線的性質得出DE＝DF，再證△AED≌△AFD，易證AD垂直平分EF.
解：AD垂直平分EF.∵AD平分∠BAC，DE⊥AB，DF⊥AC，∴∠EAD＝∠FAD，DE＝DF.在△ADE和△ADF中，∵∴△ADE≌△ADF，∴AE＝AF，∴A、D均在線段EF的垂直平分線上，即直線AD垂直平分線段EF.
方法總結：當一條直線上有兩點都在同一線段的垂直平分線上時，這條直線就是該線段的垂直平分線，解題時常需利用此性質進行線段相等關系的轉化．三、板書設計
線段的垂直平分線
1．線段的垂直平分線的作法．
2．線段的垂直平分線性質定理和逆定理．
3．三角形三邊的垂直平分線交于一點．
本節課由于采用了直觀操作以及討論交流等教學方法，從而有效地增強了學生的感性認識，提高了學生對新知識的理解與感悟，因此本節課的教學效果較好，學生對所學的新知識掌握較好，達到了教學的目的．不足之處是少數學生對線段垂直平分線性質定理的逆定理理解不透徹，還需在今后的教學和作業中進一步進行鞏固和提高．
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