二次函數的圖象教案

2021-06-14 教案

　　2.4二次函數＝ax2+bx+c的圖象

　　本節課在二次函數＝ax2和＝ax2+c的圖象的基礎上，進一步研究＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，并探索它們之間的關系和各自的性質．旨在全面掌握所有二次函數的圖象和性質的變化情況．同時對二次函數的研究，經歷了從簡單到復雜，從特殊到一般的過程：先是從＝x2開始，然后是＝ax2，＝ax2+c，最后是＝a(x-h)2，＝a(x-h)2+，＝ax2+bx+c．符合學生的認知特點，體會建立二次函數對稱軸和頂點坐標公式的必要性．

　　在教學中，主要是讓學生自己動手畫圖象，通過自己的觀察、交流、對比、概括和反思[

　　等探索活動，使學生達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數性質的理解．并能利用它的性質解決問題．

　　2.4二次函數＝ax2+bx+c的圖象（一）

　　教學目標

　　(一)教學知識點[

　　1．能夠作出函數=a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，并能理解它與＝ax2的圖象的關系．理解a，h，對二次函數圖象的影響．

　　2．能夠正確說出=a(x-h)2+圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．

　　(二)能力訓練要求

　　1．通過學生自己的探索活動，對二次函數性質的研究，達到對拋物線自身特點的認識和對二次函數性質的理解．

　　2．經歷探索二次函數的圖象的作法和性質的過程，培養學生的探索能力．

　　(三)情感與價值觀要求

　　1．經歷觀察、猜想、總結等數學活動過程，發展合情推理能力和初步的演繹推理能力，能有條理地、清晰地闡述自己的觀點．

　　2．讓學生學會與人合作，并能與他人交流思維的過程和結果．

　　教學重點[:Wz5u.c]

　　1．經歷探索二次函數＝ax2+bx+c的圖象的作法和性質的過程．

　　2．能夠作出=a(x-h)2和=a(x-h)2+的圖象，并能理解它與＝ax2的圖象的關系，理解a、h、對二次函數圖象的影響．

　　3．能夠正確說出＝a(x-h)2+圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標．

　　教學難點

　　能夠作出＝a(x-h)2和＝a(x-h)2+的圖象，并能夠理解它與＝ax2的圖象的關系，理解a、h、對二次函數圖象的影響．

　　教學方法

　　探索——比較——總結法．

　　教具準備

　　投影片四張

　　第一張：(記作2．4．1 A)

　　第二張：(記作2．4．1 B)

　　第三張：(記作2．4．1 C)

　　第四張：(記作2．4．1 D)

　　教學過程

　　Ⅰ．創設問題情境、引入新課

　　[師]我們已學習過兩種類型的二次函數，即=ax2與=ax2+c，知道它們都是軸對稱圖形，對稱軸都是軸，有最大值或最小值．頂點都是原點．還知道＝ax2+c的圖象是函數=ax2的圖象經過上下移動得到的，那么=ax2的圖象能否左右移動呢?它左右移動后又會得到什么樣的函數形式，它又有哪些性質呢?本節課我們就來研究有關問題．

　　Ⅱ．新課講解

　　一、比較函數＝3x2與＝3(X-1)2的圖象的性質．

　　投影片：(2．4 A)

　　(1)完成下表，并比較3x2和3(x-1)2的值，

　　它們之間有什么關系?

　　X-3-2-101234

　　3x2

　　3(x-1)2

　　(2)在下圖中作出二次函數＝3(x-1)2的圖象．你是怎樣作的?

　　(3)函數＝3(x-1)2的圖象與=3x2的圖象有什么關系?它是軸對稱圖形嗎?它的對稱軸和頂點坐標分別是什么?

　　(4)x取哪些值時，函數＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大?x取哪些值時，函數＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減小?

　　[師]請大家先自己填表，畫圖象，思考每一個問題，然后互相討論，總結．

　　[生](1)第二行從左到右依次填：27．12，3，0，3， 12，27，48；第三行從左到右依次填48，27，12，3，0，3， 12，27．

　　(2)用描點法作出＝3(x-1)2的圖象，如上圖．

　　(3)二次函數)＝3(x-1)2的圖象與=3x2的圖象形狀相同，開口方向也相同，但對稱軸和頂點坐標不同，＝3(x-1)2的圖象的對稱軸是直線x=1，頂點坐標是(1，0)．

　　(4)當x>1時，函數＝3(x-1)2的值隨x值的增大而增大，x<1時，＝3(x-1)2的值隨x值的增大而減小．

　　[師]能否用移動的觀點說明函數=3x2與=3(x-1)2的圖象之間的關系呢?

　　[生]=3(x-1)2的圖象可以看成是函數)＝3x2的圖象整體向右平移得到的.

　　[師]能像上節課那樣比較它們圖象的性質嗎?

　　[生]相同點：

　　a.圖象都中拋物線，且形狀相同，開口方向相同．

　　b. 都是軸對稱圖形．

　　c．都有最小值，最小值都為0．

　　d．在對稱軸左側，都隨x的增大而減小．在對稱軸右側，都隨x的增大而增大．

　　不同點：

　　a．對稱軸不同,＝3x2的對稱軸是軸＝3(x-1)2的對稱軸是x＝1．

　　b. 它們的位置不問．[:Wz5u.c]

　　c. 它們的頂點坐標不同．＝3x2的頂點坐標為(0，0),＝3(x-1)2的頂點坐標為(1，0)，

　　聯系：

　　把函數=3x2的圖象向右移動一個單位，則得到函數＝3(x-1)2的圖像．

　　二、做一做

　　投影片：(2．4．1 B)

　　在同一直角坐標系中作出函數＝3(x-1)2和＝3(x-1)2+2的圖象．并比較它們圖象的性質．

　　[生]圖象如下

　　它們的圖象的性質比較如下：

　　相同點：

　　a．圖象都是拋物線，且形狀相同，開口方向相同．

　　b. 都足軸對稱圖形，對稱軸都為x＝1．

　　c. 在對稱軸左側，都隨x的增大而減小，在對稱軸右側，都隨x的增大而增大．

　　不同點：

　　a．它們的頂點不同，最值也不同.＝3(x-1)2的頂點坐標為(1．0)，最小值為0．＝3(x-1)2+2的頂點坐標為(1，2)，最小值為2．

　　b. 它們的位置不同．

　　聯系：

　　把函數=3(x-1)2的`圖象向上平移2個單位，就得到了函數＝3(x-1)2+2的圖象．

　　三、總結函數=3x2，=3(x-1)2，＝3(x-1)2+2的圖象之間的關系．

　　[師]通過上畫的討論，大家能夠總結出這三種函數圖象之間的關系嗎?

　　[生]可以．

　　二次函數＝3x2，=3(x-1)2，=3(x-1)2+2的圖象都是拋物線．并且形狀相同，開口方向相同，只是位置不同，頂點不同，對稱軸不同，將函數＝3x2的圖象向右平移1個單位，就得到函數=3(x-1)2的圖象；再向上平移2個單位，就得到函數=3(x-1)2+2的圖象．

　　[師]大家還記得＝3x2與＝3x2-1的圖象之間的關系嗎?

　　[生]記得，把函數=3x2向下平移1個平位，就得到函數＝3x2-1的圖象．

　　[師]你能系統總結一下嗎?

　　[生]將函數＝3x2的圖象向下移動1個單位，就得到了函數=3x2-1的圖象，向上移動1個單位，就得到函數＝3x2+1的圖象；將＝3x2的圖象向右平移動1個單位，就得到函數＝3(x-1)2的圖象：向左移動1個單位，就得到函數=3(x+1)2的圖象；由函數＝3x2向右平移1個單位、再向上平移2個單位，就得到函數＝3(x-1)2+2的圖象．

　　[師]下面我們就一般形式來進行總結．

　　投影片：(2．4．1 C)

　　一般地，平移二次函數=ax2的圖象便可得到二次函數為=ax2+c，＝a(x-h)2，=a(x-h)2+的圖象．

　　(1)將＝ax2的圖象上下移動便可得到函數=ax2+c的圖象，當c>0時，向上移動，當c<0時，向下移動．

　　(2)將函數＝ax2的圖象左右移動便可得到函數=a(x-h)2的圖象，當h>0時，向右移動，當h<0時，向左移動．

　　(3)將函數＝ax2的圖象既上下移，又左右移，便可得到函數＝a(x-h)+的圖象．

　　因此，這些函數的圖象都是一條拋物線，它們的開口方向，對稱軸和頂點坐標與a，h，的值有關．

　　下面大家經過討論之后，填寫下表：

　　=a(x-h)2+開口方向對稱軸頂點坐標

　　a＞0

　　a＜0

　　四、議一議