數學 -橢圓及其標準方程教案

2024-03-20

數學 -橢圓及其標準方程教案

　　數學 -橢圓及其標準方程教案

　　教學目標

　　1．掌握橢圓的定義，掌握橢圓標準方程的兩種形式及其推導過程；

　　2．能根據條件確定橢圓的標準方程，掌握運用待定系數法求橢圓的標準方程；

　　3．通過對橢圓概念的引入教學，培養學生的觀察能力和探索能力；

　　4．通過橢圓的標準方程的推導，使學生進一步掌握求曲線方程的一般方法，并滲透數形結合和等價轉化的思想方法，提高運用坐標法解決幾何問題的能力；

　　5．通過讓學生大膽探索橢圓的定義和標準方程，激發學生學習數學的積極性，培養學生的學習興趣和創新意識．

　　教學建議

　　教材分析

　　1．知識結構

　　2．重點難點分析

　　重點是橢圓的定義及橢圓標準方程的兩種形式．難點是橢圓標準方程的建立和推導．關鍵是掌握建立坐標系與根式化簡的方法．

　　橢圓及其標準方程這一節教材整體來看是兩大塊內容：一是橢圓的定義；二是橢圓的標準方程．橢圓是圓錐曲線這一章所要研究的三種圓錐曲線中首先遇到的，所以教材把對橢圓的研究放在了重點，在雙曲線和拋物線的教學中鞏固和應用．先講橢圓也與第七章的圓的方程銜接自然．學好橢圓對于學生學好圓錐曲線是非常重要的．

　　（1）對于橢圓的定義的理解，要抓住橢圓上的點所要滿足的條件，即橢圓上點的幾何性質，可以對比圓的定義來理解．

　　另外要注意到定義中對“常數”的限定即常數要大于．這樣規定是為了避免出現兩種特殊情況，即：“當常數等于時軌跡是一條線段；當常數小于時無軌跡”．這樣有利于集中精力進一步研究橢圓的標準方程和幾何性質．但講解橢圓的定義時注意不要忽略這兩種特殊情況，以保證對橢圓定義的準確性．

　　（2）根據橢圓的定義求標準方程，應注意下面幾點：

　　①曲線的方程依賴于坐標系，建立適當的坐標系，是求曲線方程首先應該注意的地方．應讓學生觀察橢圓的圖形或根據橢圓的定義進行推理，發現橢圓有兩條互相垂直的對稱軸，以這兩條對稱軸作為坐標系的兩軸，不但可以使方程的推導過程變得簡單，而且也可以使最終得出的方程形式整齊和簡潔．

　　②設橢圓的焦距為，橢圓上任一點到兩個焦點的距離為，令，這些措施，都是為了簡化推導過程和最后得到的方程形式整齊、簡潔，要讓學生認真領會．

　　③在方程的推導過程中遇到了無理方程的化簡，這既是我們今后在求軌跡方程時經常遇到的問題，又是學生的難點．要注意說明這類方程的化簡方法：①方程中只有一個根式時，需將它單獨留在方程的一側，把其他項移至另一側；②方程中有兩個根式時，需將它們分別放在方程的兩側，并使其中一側只有一項．

　　④教科書上對橢圓標準方程的推導，實際上只給出了“橢圓上點的坐標都適合方程 “而沒有證明，”方程的解為坐標的點都在橢圓上”．這實際上是方程的同解變形問題，難度較大，對同學們不作要求．

　　（3）兩種標準方程的橢圓異同點

　　中心在原點、焦點分別在軸上，軸上的橢圓標準方程分別為：，．它們的相同點是：形狀相同、大小相同，都有，．不同點是：兩種橢圓相對于坐標系的位置不同，它們的焦點坐標也不同．

　　橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大；

　　橢圓的焦點在軸上標準方程中項的分母較大．

　　另外，形如中，只要，同號，就是橢圓方程，它可以化為．

　　（4）教科書上通過例3介紹了另一種求軌跡方程的常用方法——中間變量法．例3有三個作用：第一是教給學生利用中間變量求點的軌跡的方法；第二是向學生說明，如果求得的點的軌跡的方程形式與橢圓的標準方程相同，那么這個軌跡是橢圓；第三是使學生知道，一個圓按某一個方向作伸縮變換可以得到橢圓．

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