《提公因式法》數(shù)學教案

2024-08-24

《提公因式法》數(shù)學教案

　　教學目標

　　1．使學生了解因式分解的意義，理解因式分解的概念及其與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系．

　　2．使學生理解提公因式法并能熟練地運用提公因式法分解因式．

　　3．通過學生自行探求解題途徑，培養(yǎng)學生觀察、分析和創(chuàng)新能力，深化學生逆向思維能力.

　　教學重點及難點

　　教學重點：

　　因式分解的概念及提公因式法．

　　教學難點：

　　正確找出多項式各項的公因式及分解因式與整式乘法的區(qū)別和聯(lián)系．

　　教學過程：

　　一、復習提問

　　乘法對加法的分配律．

　　二、新課

　　1．新課引入：用類比的方法引入課題．

　　在學習分數(shù)時，我們常常要進行約分與通分，因此常常要把一個數(shù)分解因數(shù)(即分解約數(shù))．例如，把15分解成3×5，把42分解成2×3×7．

　　在第七章我們學習了整式的乘法，幾個整式相乘可以化成一個多項式，那么一個多項式如何化成幾個整式乘積的形式呢？這一章就是學習如何把一個多項式化成幾個整式的積的方法．

　　2．因式分解的概念：

　　請學生每人寫出一個單項式與多項式相乘、多項式與多項式相乘的例子，并計算出其結果．(老師按學生所說在黑板寫出幾個．)

　　如：m(a+b+c)＝ma+mb+mc

　　2xy(x-2xy+1)=2x2y-4x2y2+2xy

　　(a+b)(a-b)＝a2-b2

　　(a+b)(m+n)＝am+an+bm+bn

　　(x-5)(2-x)＝-x2+7x-10 等等．

　　再請學生觀察它們有什么共同的特點？

　　特點：左邊，整式×整式；右邊，是多項式．

　　可見，整式乘以整式結果是多項式，而多項式也可以變形為相應的整式與整式的乘積，我們就把這種多項式的變形叫做因式分解．

　　定義：把一個多項式化為幾個整式的積的形式，叫做把這個多項式因式分解，也叫做把這個多項式分解因式．

　　如：因式分解：ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

　　整式乘法：m(a+b+c)＝ma+mb+mc．

　　讓學生說出因式分解與整式乘法的聯(lián)系與區(qū)別．

　　聯(lián)系：同樣是由幾個相同的整式組成的等式．

　　區(qū)別：這幾個相同的整式所在的位置不同，上式是因式分解；下式是整式乘法．兩者是方向相反的恒等變形，二者是一個式子的不同表現(xiàn)形式，一個是多項式的表現(xiàn)形式，一個是兩個或幾個因式積的表現(xiàn)形式．

　　例1 下列各式從左到右哪些是因式分解？（投影）

　　(1)x2-x＝x(x-1) (√)

　　(2)a(a-b)＝a2-ab (×)

　　(3)(a+3)(a-3)＝a2-9 (×)

　　(4)a2-2a+1＝a(a-2)+1 (×)

　　(5)x2-4x+4＝(x-2)2 (√)

　　下面我們學習幾種常見的因式分解方法．

　　3．提公因式法：

　　我們看多項式：ma+mb+mc

　　請學生指出它的特點：各項都含有一個公共的因式m，這時我們把因式m叫做這個多項式各項的公因式．

　　注意：公因式是各項都含有的公共的因式．

　　又如：a是多項式a2-a各項的公因式．

　　ab是多項式5a2b-ab2各項的公因式．

　　2mn是多項式4m2np-2mn2q各項的公因式．

　　根據(jù)乘法的分配律，可得

　　m(a+b+c)＝ma+mb+mc，

　　逆變形，便得到多項式ma+mb+mc的因式分解形式

　　ma+mb+mc＝m(a+b+c)．

　　這說明，多項式ma+mb+mc各項都含有的公因式可以提到括號外面，將多項式 ma+mb+mc寫成m(a+b+c)的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

　　定義：一般地，如果多項式的各項有公因式，可以把這個公因式提到括號外面，將多項式寫成因式乘積的形式，這種分解因式的方法叫做提公因式法．

　　顯然，由定義可知，提公因式法的關鍵是如何正確地尋找公因式．讓學生觀察上面的公因式的特點，找出確定公因式的萬法：(1)公因式的系數(shù)應取各項系數(shù)的最大公約數(shù)：(2)字母取各項的相同字母，而且各字母的指數(shù)取次數(shù)例2 指出下列各多項式中各項的公因式：

　　(1)ax+ay+a (a)

　　(2)3mx-6mx2 (3mx)

　　(3)4a2+10ah (2a)

　　(4)x2y+xy2 (xy)

　　(5)12xyz-9x2y2 (3xy)

　　例3 把8a3b2-12ab3c分解因式．

　　分析：分兩步：第一步，找出公因式；第二步，提公因式．

　　先引導學生按確定公因式的方法找出多項式的公因式4ab2．

　　解：8a3b2-12ab3c=4ab2·2a2-4ab2·3bc=4ab2(2a2-3bc)．

　　說明：

　　(1)應特別強調確定公因式的兩個條件以免漏取．

　　(2)開始講提公因式法時，最好把公因式單獨寫出．①以顯提醒；③強調提公因式；③強調因式分解．

　　例4 把3x2-6xy+x 分解因式．

　　分析：先引導學生找出公因式x，強調多項式中x=x·1．

　　解：3x2-6xy+x

　　=x·3x-x·6y+x·1

　　＝x(3x-6y+1)．

　　說明：當多項式的某一項恰好是公因式時，這項應看成它與1的乘積，提公因式后剩下的應是1，1作為項的系數(shù)通�？梢允÷裕绻麊为毘梢豁棔r，它在因式分解時不能漏掉，這類題常常有些學生犯下面的錯誤，3x2-6xy+x=x(3x-6y)，這一點可讓學生利用恒等變形分析錯誤原因．還應提醒學生注意：提公因式后的因式的項數(shù)應與原多項式的項數(shù)一樣，這樣可以檢查是否漏項．

　　課堂練習：（投影）

　　把下列各式分解因式：

　　(l)2πR+2πr；

　　(2)

　　(3)3x3+6x2；

　　(4)21a2+7a；

　　(5)15a2+25ab2；

　　(6)x2y+xy2-xy．

　　例5 把-4m3+16m2-26m分解因式．

　　分析：此多項式第一項的系數(shù)是負數(shù)，與前面兩例不同，應先把它轉化為前面的情形便可以因式分解了，所以應先提負號轉化，然后再提公因式，提"-"號時，注意添括號法則．

　　解：-4m3+16m2-26m

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